15.7.1. Передача импульса после n спонтанных испусканий

Для упрощения задачи предположим, что двухуровневый атом первоначально либо покоится, либо движется точно под прямым углом к пучку света с волновым вектором частота которого близка к частоте атомного перехода Далее будем следовать рассуждениям Манделя (Mandel, 1979b). Каждый раз, когда атом поглощает из поля фотон и становится возбужденным, ему сообщается импульс а всякий раз, когда атом испускает фотон с волновым вектором и возвращается в основное состояние, он отталкивается и приобретает дополнительный импульс — Если испускание фотона вынужденное, то и результирующий импульс, сообщаемый атому, равен нулю. Однако после каждого спонтанного испускания атому передается результирующий импульс После спонтанных испусканий фотонов с волновыми векторами атом приобретает дополнительный импульс

Из разд. 15.5 и 15.6 известно, что вероятность регистрации спонтанно испущенного фотона в точке дальнего поля атома, находящегося в начале системы координат, пропорциональна выражению и регистрацию фотона в точке можно рассматривать как регистрацию фотона, имеющего волновой вектор к, такой что Частота испущенного фотона может, конечно, отличаться от частоты возбуждающего фотона, но относительная разность частот обычно очень мала и ею можно пренебречь, рассматривая передачу импульса. Таким образом, в хорошем приближении можно записать следующее выражение для вероятности к того, что спонтанно испущенный фотон имеет волновой вектор к в интервале к

где С — нормировочный множитель. Поскольку атом возвращается в основное состояние после каждого спонтанного испускания, волновые векторы последовательно испущенных фотонов независимы, и совместная плотность вероятности того, что волновые векторы спонтанно испущенных фотонов равны определяется выражением

С учетом (15.7.1), отсюда сразу следует, что вероятность того, что атом приобретает импульс

в интервале после актов поглощения и спонтанного испускания, равна

где задается выражением (15.7.3).

Из этого соотношения непосредственно следует ряд общих свойств моментов передаваемого импульса Например, средний импульс передаваемый атому после поглощений и испусканий, задается выражением

и равен импульсу поглощенных фотонов, поскольку импульс спонтанно испущенных фотонов при усреднении дает нуль. Второй момент импульса получается таким же образом и оказывается равным

так что

Рис. 15.13. Некоторые теоретические распределения вероятностей импульса, сообщаемого атому после поглощения и испускания 1-го, 2-х и 3-х фотонов. Пунктирная линия — асимптотическое гауссовское распределение. (Из работы Mandel, 1979b)

Таким образом, дисперсия импульса прямо пропорциональна числу поглощений и испусканий. В отличие от среднего значения передаваемого импульса, которое согласно (15.7.5) возрастает только в направлении падающего светового пучка, дисперсия импульса возрастает во всех направлениях. Можно показать, что кумулянт импульса, сообщаемого после спонтанных испусканий в раз больше, чем кумулянт импульса, сообщаемого после одного испускания (Mandel, 1979b). При увеличении форма приближается к гауссовской, что следует из центральной предельной теоремы и из того факта, что направления последовательно испущенных фотонов случайны и независимы. Более того, можно легко показать из (15.7.4), что

так что распределение симметрично относительно

Вычислим теперь явно. Если атомный переход является переходом типа а падающее поле циркулярно поляризовано и распространяется в направлении оси z, то где единичные вектора в направлении осей Тогда

и из (15.7.2) после вычисления и подстановки нормировочного множителя следует

Интегрируя по двум переменным и используя (15.7.4), для распределений атомного импульса получаем

и

и аналогично для Распределения более высокого порядка получаются отсюда с помощью (15.7.4).

Некоторые распределения вероятности переданного импульса показаны на рис. 15.13. Отметим, что распределение симметрично относительно начала координат, поскольку тогда как симметричны относительно значений , соответственно, и иллюстрируют все возрастающий приобретаемый атомом импульс. Кроме того, распределения имеют точки разрыва, имеет точку разрыва первой производной, тогда как вероятности высшего порядка являются более гладкими. Действительно, распределение уже значительно ближе к асимптотическому (гауссовскому) распределению.

Рис. 15.14. Наблюдаемое распределение атомов в пучке в присутствии и в отсутствии резонансного излучения (Picque and Vialle, 1972): а — по направлению распространения падающего света, перпендикулярно направлению распространения падающего света. Черные кружки соответствуют измерениям в присутствии света, а белые — без него

Передача импульса атому изучалась в экспериментах по отклонению атомного пучка (Frisch, 1933; Picque and Vialle, 1972; Schieder, Walther and Woste, 1972), а также по рассеянию атомов на стоячей волне (Arimondo, Lew and Oka, 1979). На рис. 15.14 показаны результаты измерений, в которых пучок атомов

натрия облучался под прямым углом светом натриевой лампы и отклонение исследовалось с помощью ионизационного детектора. Согласно оценкам среднее отклонение, вызванное одним поглощенным фотоном, составляло около Атомный пучок, как и следовало ожидать, испытывает в направлении падающего света не только результирующее отклонение, но и уширение, а в перпендикулярном направлении — только уширение. Однако измеренные распределения сильно отличаются от соответствующих кривых на рис. 15.13. Данное отличие вызвано, в значительной степени, разбросом скоростей падающих атомов.