4.6.1. Уравнения Сударшана для распространения корреляционных функций второго порядка свободных полей

Пусть реализация статистического ансамбля свободных полей. Будем рассматривать как комплексный аналитический сигнал, связанный с действительной полевой переменной. На всем пространстве он удовлетворяет волновому уравнению

Общее формальное решение (4.6.1), справедливое на всем пространстве, можно представить в виде суперпозиции мод плоских волн, а именно,

где и интегрирование проводится по всему трехмерному -пространству.

Представление свободного поля (4.6.2) может быть легко получено следующим образом. Представим в виде (возможно обобщенного) трехмерного интеграла Фурье

и подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.6.1). Меняя порядок операций дифференцирования и интегрирования и осуществив обратное фурье-преобразование полученного уравнения, находим

Общее решение уравнения (4.6.4) имеет вид

где произвольные функции К. Подставляя (4.6.5) в (4.6.3), получим представление (4.6.2).

Поскольку поле описывается с помощью комплексного аналитического сигнала, оно не может содержать отрицательных частотных компонент, т.е. в (4.6.2). В результате поле может быть представлено ансамблем реализаций вида

Дифференцируя обе части (4.6.6) по получим уравнение

Интеграл в правой части этой формулы может быть представлен в виде определенного нелокализованного оператора, действующего на Этот оператор, обычно обозначаемый как хорошо известен в физике элементарных частиц и квантовой теории поля. Он может быть определен следующим образом:

Пусть произвольная скалярная функция от которая может быть представлена в виде интеграла Фурье

Тогда

Теперь введем оператор определив его таким образом

Правую часть (4.6.10) можно выразить непосредственно через подставив выражение для

которое представляет собой обратное преобразование Фурье выражения (4.6.8). Тогда после простых алгебраических вычислений получим формулу

где

В Приложении 4.1 показано, что ядро интегрального преобразования (4.6.12) можно символически записать в виде

где и — положительно- и отрицательно-частотные части дельта-функции Дирака, определенные в Из (4.6.12) видно, что оператор является нелокализованным, т.е. значение зависит не только от значения в точке но также от значений во всех точках пространства.

Вернемся к уравнению (4.6.7). Интеграл в его правой части есть не что иное, как — так что аналитический сигнал, соответствующий произвольному свободному полю, удовлетворяет уравнению

Впервые это уравнение было получено Сударшаном

Поскольку (4.6.15) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени, возможно определить значения для всех и всех зная значение для некоторого момента времени Точная формула, описывающая эту временную эволюцию, может быть получена следующим образом. Сначала осуществим обратное фурье-преобразование (4.6.6). Это дает

Затем подставим (4.6.16) в (4.6.6) и поменяем порядок интегрирования. В итоге получим формулу

где

В Приложении 4.2 показано, что функция может быть представлена в виде

где

Формула (4.6.17) для временной эволюции аналитического сигнала справедлива не только для всех значений также и для всех Этот факт является следствием того, что при построении комплексного аналитического сигнала, связанного с действительным сигналом, нам необходимо знать значения последнего для всех [см. (3.1.21)].

В настоящем контексте представляет собой выборочную функцию флуктуирующего свободного поля, чья корреляционная функция второго порядка определяется как

Обозначим через оператор действующий относительно переменных и соответственно. Действуя оператором на (4.6.20) и меняя порядок операций в правой части полученных выражений, имеем

Воспользовавшись далее выражением (4.6.15) в правой части (4.6.21) и вновь меняя порядок операций, получим уравнения Сударшана (Sudarshan, 1969)

которым подчиняется корреляционная функция второго порядка произвольного ансамбля свободных полей.

Отметим, что в отличие от волновых уравнений (4.4.10) для уравнения Сударшана являются уравнениями первого порядка по временным переменным и не локализованы по пространственным переменным. Это означает, что, зная корреляционную функцию для всех значений при фиксированных можно найти для всех значений ее аргументов. Приведем краткий вывод решения данной «задачи с начальными условиями» и обсудим некоторые его физические следствия.

Поскольку большинство встречающихся в природе полей являются стационарными, по крайней мере, в широком смысле, запишем уравнения (4.6.22) для этого типа полей. Для стационарных полей зависит от своих временных аргументов только через их разность т.е. представляет собой функцию взаимной когерентности Поскольку в этом случае уравнения (4.6.22) принимают вид

В заключение, осуществив фурье-преобразование уравнений (4.6.23) и учитывая, что фурье-образ функции взаимной когерентности есть не что иное, как взаимная спектральная плотность получим

где