10.7. Операторы фазы квантованного поля

Мы уже видели, что каждая -мода свободного электромагнитного поля ведет себя как гармонический осциллятор. Для классического гармонического осциллятора с комплексной амплитудой каноническая переменная определяется формулой

Фаза связана с комплексной амплитудой соотношением

Теперь зададимся вопросом: существует ли аналогичная квантовомеханическая наблюдаемая для фазы, определяемая некоторым эрмитовым оператором Для получения этой наблюдаемой заманчиво применить тот же подход, что и в классическом выводе, приведенном выше. Тогда, по аналогии с выражением (10.7.2), желательно представить оператор уничтожения следующим образом

В дальнейшем мы будем рассматривать только одну моду поля, и, следовательно, мы временно опустим индексы моды Если разложение (10.7.3) должно привести нас к наблюдаемым то соответствующие операторы должны быть эрмитовыми. В действительности выяснилось, что построить эрмитов оператор фазы таким образом невозможно, но осознание этого пришло совсем недавно.

10.7.1. Первые попытки построения оператора фазы

Предположим, что разложение (10.7.3), где эрмитовы, справедливо, и рассмотрим некоторые его следствия.

Осуществив эрмитово сопряжение (10.7.3)

и перемножая выражения (10.7.3) и (10.7.4), получим или Следовательно,

или

Более того, используя теорему об операторном разложении

из (10.7.5) получим

откуда следует, что должно выполняться равенство

Таким образом, ведут себя как канонически сопряженные наблюдаемые, и выражение (10.7.8) предполагает существование соотношения неопределенности для дисперсий

На этом этапе должны бы возникнуть подозрения, поскольку модуль фазы обычно ограничен величиной так что ее неопределенность не может быть сколь угодно большой, как это следует из выражения (10.7.9) в случае, если очень мало. Действительно, поскольку имеет дискретный спектр, тогда как фаза непрерывна и ограничена, выражение (10.7.8) неправдоподобно. Неявное противоречие, заключенное в нем, становится очевидным, если рассмотреть матричные элементы, полученные путем умножения этого выражения на собственное состояние оператора числа частиц справа и слева. Мы придем к соотношению

которое, безусловно, неверно, при левая его часть обращается в нуль, а правая равна Следовательно, оба выражения (10.7.8) и (10.7.9), на самом деле, неверны, хотя каждый отдельный этап вывода был непротиворечивым. Трудности возникли из-за того, что и несмотря на их вид, не являются унитарными операторами, так что не является эрмитовым оператором фазы.

Неунитарность оператора который мы будем обозначать как может быть доказана следующим образом. Из определения следует, что

Тогда

как и требуется для унитарного оператора. Но

и этот оператор не является единичным, так как он дает нуль при воздействии как справа, так и слева на вакуумное состояние. Определив матричные элементы в базисе фоковских состояний, можно легко показать, что так что не является унитарным оператором, а не является эрмитовым оператором.