15.7.2. Передача импульса при вынужденном излучении или градиентные силы в сильном поле

В случае достаточно сильного поля вынужденные испускания преобладают над спонтанными, так что в течение интервала времени, меньшего естественного времени жизни, спонтанным излучением можно пренебречь. Тогда поле, по существу, можно рассматривать классически. Как уже отмечалось, результирующий импульс, сообщаемый атому в поле плоской волны, равен нулю, если за поглощением фотона следует вынужденное его испускание. Однако ситуация сильно меняется в неоднородном электромагнитном поле, в котором результирующие силы, действующие на индуцированный атомный диполь, могут быть очень велики. Эта тема исследовалась в работах (Letokhov and Pavlik, 1976; Letokhov, Minogin and Pavlik, 1976, 1977; Ashkin, 1978; Bjorkholm, Freeman, Ashkin and Pearson, 1978, 1980; Cook, 1978, 1979, 1980a, b; Cook and Bernhardt, 1978; Kazantsev, 1978; Balykin, Letokhov and Mushin, 1979; Ashkin and Gordon, 1979; Letokhov and Minogin, 1979; Salomon, Dalibard, Aspect, Metcalf and Cohen-Tannoudji, 1987; Westbrook, Watts, Tanner, Rolston, Phillips, Lett and Gould, 1990; Bigelow and Prentiss, 1990).

В качестве примера рассмотрим поле стоячей волны

которое, конечно, можно рассматривать как суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси z. Атом, движущийся, скажем, вдоль оси может поглотить фотон одной из плоских волн и затем вынужденно, под влиянием второй плоской волны, испустить фотон. В результате он приобретет составляющую импульса в направлении оси z. Этот процесс может повторяться неограниченное число раз, что приводит, если пренебречь спонтанными испусканиями, к отклонению атомного пучка, распространяющегося в направлении оси на угол, имеющий несколько определенных значений. Фактически, поле стоячей световой волны действует на резонансные атомы как дифракционная решетка (Cook and Bernhardt, 1978; Arimondo, Lew and Oka, 1979; Martin, Gould, Oldaker, Miklich and Pritchard, 1987).

Теперь рассмотрим уравнения движения двухуровневого атома в классическом электромагнитном поле более общего вида

Полный гамильтониан атома, характеризуемого массой и импульсом имеет тогда вид

где первый член представляет собой внутреннюю энергию атома, второй — его кинетическую энергию и третий — энергию взаимодействия в дипольном приближении. Поскольку теперь радиус-вектор атома является одной из динамических переменных, он должен рассматриваться как оператор гильбертова пространства.

Скорость изменения импульса атома есть сила действующая на атом. Из (15.7.11) и гейзенберговского уравнения движения для следует, что эта сила определяется выражением

В этом уравнении операторы действуют на состояние атома, характеризующее его движение, тогда как оператор действует на внутреннее состояние, описывающее возбуждение атома. Пусть начальное состояние является состоянием, в котором положение атома достаточно хорошо определено, так что не меняется заметно в пределах изменения Тогда оператор координаты можно заменить его средним

значением в момент времени Если записать оператор импульса в дифференциальном виде то уравнение движения принимает вид

Теперь можно взять средние значения от обеих частей этого уравнения, что приведет к следующему классическому уравнению для атомной траектории:

Если не меняется быстро при изменении координаты, то в узлах стоячей волны сила может менять знак, что приводит к пленению атома (Kazantsev, 1976; Ashkin, 1978). Однако, строго говоря, среднее значение задаваемое выражением (15.2.16), должно рассматриваться как функция положения атома и времени. Для того, чтобы определить атомную траекторию, необходимо решать одновременно уравнение (15.7.13) и уравнения Блоха (15.3.11) (или (15.3.19) во вращающейся системе координат). В общем случае это непростая задача, если учесть, что и атомная частота Раби и фаза в уравнениях (15.3.11) или (15.3.19) зависят от времени в системе координат движущегося атома, хотя они могут быть постоянными в лабораторной системе координат (Cook, 1980b; Gordon and Ashkin, 1980). В общем случае имеем соотношения

Проблема решения связанных уравнений движения обсуждалась Куком (Cook, 1978, 1979, 1980а, Ь), который показал, что при некоторых предположениях сила, действующая на атом, приводит к фокусировке или дефокусировке атомных траекторий. Далее будем следовать его рассуждениям.

Сила светового давления, обусловленная вынужденным излучением, может давать вклад во флуктуации импульса даже тогда, когда среднее значение силы равно нулю, как в плоской волне (при отсутствии спонтанного излучения). Это связано с тем, что любой импульс, приобретенный при поглощении фотона, приводит к возмущению движения атома, несмотря на то, что этот импульс опять теряется в процессе вынужденного испускания. Флуктуация силы легко вычисляется по формуле (15.7.12). Если воспользоваться выражением (15.1.17) для дипольного момента и выражением (15.3.12) для частоты Раби то из (15.7.12) получим

где опущены члены, осциллирующие на удвоенной частоте оптического перехода. Отсюда с помощью антикоммутационных соотношений (15.1.7) для атомных переменных сразу получаем результат

справедливый для произвольного квантового состояния. Таким образом, атом испытывает флуктуационную, обусловленную вынужденным излучением силу даже в плоской волне, для которой является константой.

Движение двухуровневого атома можно рассмотреть квантово-механически с помощью некоторых упрощающих предположений, без введения средних значений на начальном этапе вычислений, как в уравнении (15.7.13). Пусть частота оптического возбуждения и совпадает с частотой атомного перехода со и фаза Кроме того, пусть свет является линейно поляризованным и атомный переход есть переход типа так что дипольный момент Тогда полный гамильтониан (15.7.11) принимает вид

Состояние атома в произвольный момент времени удовлетворяет уравнению Шредингера

которое определяет как внешнее, так и внутреннее движение. Пусть раскладывается по атомным состояниям с определенным возбуждением и определенным положением атома следующим образом:

Подставляя это разложение в (15.7.15), находим, что подчиняются двум связанным уравнениям движения

где опущены члены, осциллирующие на удвоенной частоте оптического перехода. Уравнения можно расцепить, введя ортогональные, симметричную и антисимметричную волновые функции

удовлетворяющие уравнениям движения

Волновые функции следовательно, распространяются независимо друг от друга и не интерферируют, поскольку они ортогональны. Атом, первоначально находящийся в основном состоянии, имеет равные амплитуды Вследствие того, что потенциальные энергии в двух уравнениях Шредингера (15.7.18) имеют противоположные знаки, электромагнитные силы, действующие на атом в состояниях противоположно направлены. Таким образом, пучок атомов, находящихся первоначально в основном состоянии, должен расщепиться на две составляющие. Кук (Cook, 1978, 1979) показал, что перпендикулярное поле стоячей волны должно действовать в некотором роде как собирающая линза для атомов, описываемых функцией и как рассеивающая линза для атомов, описываемых функцией На рис. 15.15 показано ожидаемое распределение атомного потока, отвечающего волновым функциям и на некотором расстоянии от области взаимодействия, при котором наиболее отчетливо проявляется эффект фокусировки. Острые максимумы образованы сходящимися и расходящимися траекториями. Распределение, наблюдаемое в случае падающих атомов, находящихся в основном состоянии, представляет собой сумму двух приведенных распределений.

Рис. 15.15. Плотность атомов: а — как функция поперечной координаты атомного пучка в фокальной плоскости (Cook, 1978). Рис. а иллюстрирует фокусировку, а рис. б - дефокусировку падающих атомов

В заключение упомянем о том, что резонансное взаимодействие, отвечающее за отклонение атомов, может при некоторых условиях приводить также к отклонению пучков света, проходящих сквозь газ резонансных атомов. Это было продемонстрировано в экспериментах Тама и Хаппера (Tam and Happer, 1977),

которые наблюдали, что два первоначально параллельных, циркулярно поляризованных световых пучка с одинаковой поляризацией, проходя через пары щелочи «притягивались» друг к другу, тогда как пучки с противоположной поляризацией «отталкивались». Эти результаты могут быть вызваны обменом поляризованными атомами между двумя световыми пучками.