18.2.3. Аналогия с фазовым переходом

Можно представить стационарное решение уравнения движения (18.2.27) в виде

Ряд исследователей, занимающихся лазерной проблематикой, заметили, что это уравнение имеет поразительное сходство с уравнениями, которые используются для описания фазовых переходов в некоторых физических системах (Degiorgio and Scully, 1970; Graham and Haken, 1970; Scully, 1973; Graham, 1975; Haken 1975a, b, 1977, гл. 6, 1985). Например, намагниченность ферромагнитного вещества в окрестности температуры Кюри (температура, при которой происходит фазовый переход) зависит от температуры согласно уравнению (закон Вейсса)

где положительные константы. До тех пор, пока температура остается выше температуры Кюри, единственное решение уравнения есть Однако, как только уравнение (18.2.30) дает ненулевое решение для намагниченности, и мы имеем

Если намагниченности сопоставить абсолютную амплитуду лазерного поля температуре Кюри коэффициент потерь а температуре коэффициент усиления то получим почти полное соответствие между уравнениями (18.2.29) и (18.2.30) и между решениями (18.2.28) и (18.2.31). В случае

ферромагнетика появление спонтанной намагниченности ниже температуры Кюри связано с определенным упорядочением магнитных диполей, а в случае лазера появление макроскопического поля когда усиление превосходит потери, связано с определенным упорядочением или сфазированием атомных осцилляторов. В обоих случаях, при или при имеет место существенное изменение в порядке системы, которое называется фазовым переходом. Намагниченность и амплитуда поля называются параметрами порядка для соответствующих фазовых переходов. На рис. 18.5 приведены для сравнения зависимости от и от В обоих случаях параметр порядка обращается в нуль в неупорядоченной фазе и растет в упорядоченной фазе.

Рис. 18.5. Сравнение фазовых переходов в лазере и ферромагнетике. является параметром порядка в первом случае, во втором. Фазовый переход происходит при или при

Оба параметра порядка являются макроскопическими переменными, которые можно рассматривать как проявления величины микроскопического порядка в системе и, в то же время, как макроскопические силы, стремящиеся вынудить микроскопические системы принять определенное направление. Параметры порядка отражают коллективное воздействие всех микроскопических подсистем друг на друга. Они «дают указания» всем подсистемам и держат их в порядке. Таким образом, параметры порядка можно рассматривать в качестве генералов, контролирующих и отдающих приказ на марш войскам (Graham, 1975; Haken, 1975а, 1977). Аналогию между лазером и ферромагнетиком можно распространить еще дальше. Например, если наложить внешнее намагничивающее поле на ферромагнитное вещество, то правую часть уравнения (18.2.30) нужно заменить величиной и оно принимает следующий вид

Если к лазеру приложить внешнее резонансное электромагнитное поле с амплитудой то уравнение (18.2.29) заменяется следующим

Введем теперь восприимчивость ферромагнетика, которая в пределе и с учетом (18.2.31) принимает вид

Очевидно, что восприимчивость расходится в точке фазового перехода и при Подобным же образом (Degiorgio and Scully, 1970), мы можем определить чувствительность или восприимчивость лазера Из (18.2.33) в пределе следует, что

Так же как и температуре Кюри, величина расходится на пороге генерации и имеет тот же критический индекс когда Причина состоит в том, что очень маленькое изменение

приложенного поля может привести к большому изменению лазерного поля на пороге генерации. Таким образом, поведение лазера вблизи порога имеет довольно близкое сходство с фазовым переходом типа порядок-беспорядок.

В действительности, при дальнейшем увеличении параметра накачки появляются дополнительные фазовые переходы, хотя это и не видно из уравнения движения (18.2.27), поскольку это уравнение ограничено одномодовым режимом и низшим порядком нелинейности. По мере постепенного роста степени возбуждения лазера могут возбуждаться все больше и больше мод. Если их фазы коррелированы или заперты, результирующее лазерное поле переходит в режим регулярных периодических пульсаций или пичковый режим, тогда как в случае незапертых фаз, поле становится по существу хаотическим, несмотря на то, что оно по-прежнему описывается детерминированным уравнением движения (Uspenskii, 1963; Korobkin and Uspenskii, 1963; Risken and Nummedal, 1968a, b; Graham, 1975; Haken, 1975a, b, 1977, гл. 6; Haken and Ohno, 1976a, b; Casperson, 1978; Mayr, Risken and Vollmer, 1981). Если учитывать влияние флуктуаций, то обнаружится, что резкие скачки в поведении системы, показанные на рис. 18.4, пропадают. Однако, концепция фазового перехода остается применимой, и аналогия между фазовыми переходами в лазерах и в других системах сохраняется. Хотя при учете квантовых флуктуаций амплитуда света не равна больше нулю ниже порога, фазовый переход проявляется в изменении статистических свойств лазерного поля.