10.6.3. Собственный (спиновый) момент количества движения

Рассмотрим собственный, или спиновый момент количества движения несколько подробнее. С помощью разложений по модам (10.4.38) и (10.4.39) находим

Интегралы по объему дают Члены, содержащие обращаются в нуль, что можно видеть, осуществив замену переменных С помощью коммутационных соотношений (10.3.9)-(10.3.11) между операторами рождения и уничтожения найдем

Это общее выражение справедливо для любого базиса из двух комплексных векторов поляризации Конечно, с целью упрощения выражения для желательно выбрать базис таким образом, чтобы векторное произведение имело очень простой вид.

Рассмотрим два возможных варианта таких базисов. Если действительные, ортогональные единичные векторы, соответствующие ортогональным линейным поляризациям, то тогда

где k — единичный вектор в направлении волнового вектора k. Подставляя (10.6.15) в (10.6.14), получим

откуда видно, что в базисе ортогональных линейных поляризаций полностью недиагонален в представлении фоковских состояний. Более того, каждая компонента ориентирована вдоль своего волнового вектора.

Немедленно возникает вопрос: существует ли базис поляризаций, в котором диагонален в представлении фоковских состояний? Для этого необходимо, чтобы векторное произведение было пропорционально Такой базис представляют собой ортогональные векторы круговой поляризации которые выражаются через действительные ортогональные единичные векторы следующим образом

Здесь соответствуют свету с правой и левой круговыми поляризациями, соответственно. Эти векторы удовлетворяют условию

что позволяет упростить выражение (10.6.14) так, что оно принимает вид

Отсюда видно, что в базисе круговых поляризаций оператор в представлении чисел заполнения диагонален и что собственный момент количества движения, соответствующий каждому волновому вектору к, равен разности между числом фотонов с правой и левой круговыми поляризациями, умноженной на Таким образом, для плоской световой волны собственный момент количества движения ориентирован исключительно в направлении распространения. Для однофотонного состояния, соответствующего плоской волне с волновым вектором к, составляющая собственного момента количества движения в направлении распространения имеет собственные значения Проекция собственного момента количества движения на направление распространения известна как спиральностъ, а квантовое число известно как спин фотона. Частица с нулевой массой и спином, равным 1, характеризуется двумя собственными значениями спиральности. Справедливость этих соотношений была доказана. Момент количества движения пучка поляризованного по кругу света был измерен в эксперименте, в котором пучок падал на двупреломляющую пластину, которая могла свободно вращаться относительно направления распространения пучка

Согласно (10.6.19) спиновый момент количества движения так же, как может быть представлен в виде функции операторов числа частиц в базисе круговых поляризаций. Следовательно, коммутирует с и является еще одним интегралом движения свободного электромагнитного поля.