12.3. Оператор фотонной плотности

Как мы уже видели, бывает удобно вводить оператор интенсивности определяя его для каждого оператора уничтожения в конфигурационном пространстве Из всех операторов поля и которые могут быть определены разложениями по плоским волнам (12.2.1) и (12.2.2), те операторы, для которых представляют особое значение. Соответствующая интенсивность играет роль фотонной плотности и часто непосредственно связана с фотоэлектрическими измерениями.

Определим положительно-частотный оператор в виде разложения

и рассмотрим интеграл от соответствующей интенсивности по всему пространству. Имеем

После формального изменения порядка суммирования и интегрирования, можно проинтегрировать по всему пространству, что дает Таким образом, имеем

что, в силу ортонормированности базисных векторов, сводится к

где оператор общего числа фотонов. Таким образом, играет роль числа фотонов в единице объема или, другими словами, фотонной плотности.

В разд. 12.11 мы еще увидим, что, хотя и не совсем точное, отождествление с фотонной плотностью является более, чем чисто формальным, потому что интеграл от по некоторому объему, меньшему чем (но имеющему пространственные размеры большие, чем длина волны), в определенной степени играет роль оператора в конфигурационном пространстве, а именно, оператора локального числа фотонов. Однако, не следует рассматривать как оператор, который локализует фотоны точно в позиции в момент времени

Во многих ситуациях в оптике поля, представляющие интерес, являются квазимонохроматическими с небольшими отклонениями частот от средней частоты. В такой ситуации функция в модовом разложении (12.2.1)-(12.2.3) не изменяется заметным образом в диапазоне заполненных мод поля и при

суммировании по заполненным модам ведет себя, главным образом, как постоянная величина. При таких условиях нормально упорядоченные корреляционные функции от операторов задаваемые выражением (12.3.1), и им сопряженные, отличаются только на константу от нормально упорядоченных корреляционных функций от общих операторов (12.2.1) и (12.2.2). Причина этого заключается в том, что незаполненные моды поля не вносят никакого вклада в нормально упорядоченные корреляционные функции. Подобные замечания также относятся и к ожидаемой величине интенсивности света которая является частным случаем нормально упорядоченной корреляционной функции. Поэтому для квазимонохроматического поля мы можем использовать среднюю фотонную плотность в качестве меры средней интенсивности поля.

Данный выбор единиц для особенно удобен при описании фотоэлектрических измерений квазимонохроматического света, так как это приводит к простой интерпретации константы в выражениях (12.2.10) или (12.2.11) для дифференциальной вероятности детектирования. Рассмотрим типичную экспериментальную ситуацию, показанную на рис. 12.2. Фоточувствительная поверхность фотодетектора представляет собой очень тонкий слой, расположенный в плоскости, нормальной к падающему полю. Облучаемая область чувствительной поверхности с площадью делается достаточно малой для того, чтобы поле на детекторе имело вид плоской волны во всей области При таких условиях, каждый электрон детектора, принадлежащий облучаемому фотокатоду, главным образом, чувствует одно и то же поле и в (12.2.11) можно выбрать точку в качестве любой точки облучаемого фотокатода. Тогда можно ожидать, что константа в (12.2.11) будет пропорциональна числу облученных электронов или площади катода 5, подвергаемой облучению. Если записать для дифференциальной вероятности детектирования

где а есть некоторая другая константа, а ожидаемое значение фотонной плотности, то мы увидим, что а должна быть безразмерной величиной. Член является средним числом фотонов, содержащихся в цилиндре с основанием и высотой с равной расстоянию, проходимому светом за короткое время измерения (см. рис. 12.2). Но это есть просто число фотонов, которые, как можно было ожидать, столкнутся с облучаемой областью фотокатода в среднем, если бы мы рассматривали фотоны как частицы, движущиеся перпендикулярно фотокатоду со скоростью с. Очевидно, что константа а описывает вероятность того, что любой из этих фотонов детектируется. Она часто называется квантовым выходом и выражается в единицах числа фотоэлектронов на фотон (при условии, что подавляющее число эмиссий представляют собой эмиссии отдельных электронов).

Рис. 12.2. Фотодетектор с площадью поверхности которая расположена нормально к падающему полю и облучается в течении времени Видно, что детектор измеряет число фотонов в цилиндре с объемом

Аналогичным образом, рассматривая группу детекторов, освещаемых под прямым углом к поверхности фотокатода, мы можем предположить, что константа в (12.2.13) задается в виде

где представляют собой квантовые выходы и площади областей облучения детекторов, при условии, что операторы представляют фотонные плотности.

Однако в случае, когда поле немонохроматическое и обладает широким спектром, нарушается локальное соответствие между числом фотонов в определенной области и вероятностью детектирования и мы сталкиваемся с нелокальными соотношениями. Эта ситуации будет обсуждаться в разд. 12.11.