12.10. Фотонная статистика

В разд. 10.4 мы встречались с фоковским состоянием поля, которое представляет собой состояние с определенным числом заполнения фотонами каждой моды. Мы показали, что фоковские состояния также являются собственными состояниями энергии, импульса, а также, для мод с круговой поляризацией, спиральности. Но, с другой стороны, в фоковском состоянии, которое является крайне неклассическим по характеру, операторы поля имеют нулевые ожидания, а не определенные значения. Далее мы познакомились с когерентными состояниями поля, которые более схожи с классическими состояниями, и для которых положительно- и отрицательно-частотные части полевых операторов являются вполне определенными, но

для которых числа фотонов не имеют определенных значений. Состояния электромагнитного поля, которые мы встречаем на практике, почти всегда являются состояниями с неопределенным числом фотонов, которое может задаваться только в рамках статистического описания. Ниже мы обратим наше внимание на проблему статистики фотонов. Мы узнаем, что фотонные флуктуации достаточно хорошо проявляются во флуктуациях щелчков, которые регистрируют фотодекторы, помещенные в поле.

12.10.1. Вероятности

Если обозначает некоторый определенный набор чисел заполнения фотонами, то вероятностью обнаружения набора когда электромагнитное поле находится в некотором произвольном состоянии, описываемом оператором плотности является просто ожидаемое значение оператора проектирования на фоковское состояние или

С помощью диагонального представления по когерентным состояниям (11.11.11) и ранее выведенного скалярного произведения когерентного состояния на фоковское состояние [(11.2.12)], находим, что

Последнее выражение следует из предыдущего ввиду оптической теоремы эквивалентности. Соотношение (12.10.2а) имеет интересную структуру. Оно выражает как произведение пуассоновских распределений по числам заполнения которое затем должно быть усреднено по весовому функционалу (Ghielmetti, 1964). Однако, в общем случае, процедура усреднения по не будет сохранять структуру в виде произведения пуассоновских распределений. Конечное выражение может выглядеть совершенно иначе и не иметь вид произведения по модам.

Тем не менее, в частных случаях может иметь вид пуассоновского распределения. Например, если состояние является когерентным состоянием то задается соотношением

и из (12.10.2) мы имеем

что, как и ожидалось, является произведением пуассоновских распределений для каждой моды. Для весового функционала соответствующего случаю одномодового лазера, мода которого имеет случайную фазу, получаем

откуда видно, что число фотонов в к-моде имеет пуассоновское распределение, в то время как все остальные моды являются незаполненными. В разд. 13.2 мы покажем, что для равновесного теплового

состояния поля, для которого является гауссовским, выражение (12.10.2) приводит к произведению распределений Бозе — Эйнштейна.

Иногда распределение вероятности набора чисел заполнения интересует нас меньше, чем распределение вероятности общего числа фотонов где

Легко вывести выражение для из если просуммировать по всем комбинациям для которых общее число Тогда с помощью (12.10.2) имеем

Меняя местами порядки суммирования, произведения и усреднения по фазовому пространству и используя полиномиальную теорему в виде

приходим к выражению

где

а произведение является фотонной плотностью. Последняя форма (12.10.8) получается из предыдущей по оптической теореме эквивалентности. Мы видим, что также может быть формально записана как среднее по пуассоновским распределениям и функционал в фазовом пространстве играет роль весового функционала. Для когерентного состояния при задаваемым выражением (12.10.3), и для одномодового лазера, при задаваемым выражением (11.11.18), фактически является пуассоновским распределением по Хотя в общем случае операция усреднения в фазовом пространстве может привести к совершенно иной форме

Параметр в (12.10.9) является с-числовой интенсивностью света, проинтегрированной по всему пространству и, в определенном смысле, представляет собой аналог общего числа фотонов Правую часть в (12.10.8) также можно трактовать как среднее от по некоторой случайной переменной с плотностью квазивероятности задаваемой выражением

Для того, чтобы увидеть это, отметим, что (12.10.8) также может быть записано в виде

где правая часть имеет обычный вид классического среднего. Однако, в тех случаях, когда лежит вне области классической плотности в фазовом пространстве, также может не обладать особенностями классической плотности вероятности.