19.4. Зависящее от времени решение в случае константы связи ...

Поскольку уравнение Фоккера — Планка (19.1.17), описывающее двухмодовый кольцевой лазер, есть четырехмерное дифференциальное уравнение в частных производных, его общее решение представляет собой более сложную проблему, чем решение соответствующего уравнения для одномодового лазера. Однако, в некоторых случаях ситуация упрощается. В частности, если константа связи мод равна единице, и если имеется симметрия, так что то двухмодовая лазерная задача может быть решена с той же степенью полноты, что и задача одномодового лазера (ср. разд. 18.6). В случае малой асимметрии теория возмущений позволяет выразить решение через решения для симметричного лазера (Hioe, Singh and Mandel, 1979). С другой стороны, когда лазер работает при существенном превышении порога, можно получить решения, используя квадратичные приближения к минимуму стационарного потенциала (Hioe and Singh, 1981). В этом параграфе мы проиллюстрируем эти методы нахождением зависящих от времени решений для случая поскольку такая процедура близка процедуре, использованной ранее в разд. 18.6 для одномодового лазера. Мы будем следовать методу, описанному -Техрани и Манделем (M-Tehrani and Mandel, 1978а).

19.4.1. Решение методом разделения переменных для случая ...

Если в уравнении Фоккера — Планка (19.1.17) положить

воспользоваться соотношением (19.1.20) и разделить на то получим уравнение

где А — вектор дрейфа, задаваемый формулой (19.1.19). Поскольку левая часть данного уравнения зависит только от а правая часть зависит только от х, каждая из них должна быть равна константе В результате получаем два уравнения

имеющее решение

и

Вследствие четырехмерности мы должны ожидать, что представляют собой четырехмерные массивы, и мы отметим их четырьмя индексами

Общее, зависящее от времени решение уравнения (19.1.17) имеет вид

где коэффициенты определяются из начальных условий. Как и прежде, можно преобразовать дифференциальное уравнение (19.4.3) в уравнение Штурма — Лиувилля с помощью преобразования

где стационарное решение (19.2.5). Функция удовлетворяет самосопряженному уравнению

решения которого образуют полное ортогональное множество и могут быть нормированы так, что

Вплоть до этого момента процедура совпадала с той, которая использовалась в гл. 18 при решении уравнения одномодового лазера.

Для дальнейшего упрощения дифференциального уравнения в частных производных сделаем замену переменных, сначала переходя к полярным координатам

а затем, вводя переменные

полагая

Подставляя в (19.4.6) явное выражение (19.1.19) для вектора дрейфа А, обнаруживаем, что функция удовлетворяет уравнению (M-Tehrani and Mandel, 1978а, b)

Отметим, что дифференциальные операторы по разделены, так что можно сделать дальнейшее разделение переменных в виде

где предполагается, что каждая из четырех функций нормирована на единицу. Подстановка (19.4.12) в (19.4.11) сразу приводит к осцилляторным решениям для

тогда как уравнения для становятся несвязанными и сводятся к следующим:

Рис. 19.19. Теоретическая зависимость собственных значений: от параметра накачки а при

где собственное значение или параметр, который должен быть определен. С помощью преобразования

можно показать, что дифференциальное уравнение для имеет вид

и его решением являются полиномы Якоби (см., например, Gradshteyn and Ryzhik, 1980, с. 1036, 8.964), причем

Тогда функции будут ортогональными, с весом, равным единице, если константа нормировки выбрана так, что

Полиномы Якоби обычно определяются для неотрицательных целых но, с некоторым ограничением, их можно обобщить для отрицательных целых Однако, для вычисления наиболее важных корреляционных функций лазерного поля нам потребуются только комбинации для которых полиномы Якоби сводятся к полиномам Лежандра и присоединенным функциям Лежандра.

В заключение обратимся к дифференциальному уравнению (19.4.15) для С помощью преобразований

легко показать, что является решением одномерного уравнения Шредингера

где «потенциал» задается формулой

является соответствующим собственным значением. Хотя в (19.4.22) присутствуют все три индекса некоторые их комбинации приводят к одинаковому потенциалу. Если обозначить через комбинацию

то потенциал будет полностью определяться только значением и можно записать

Таким образом, можно заменить три индекса записать для собственных функций и собственных значений. Однако, мы все же сохраним более длинное обозначение для функций

Решением уравнения Шредингера (19.4.21), в принципе, будет решена задача нахождения зависящего от времени решения уравнения Фоккера — Планка. Интересно отметить, что уравнение Шредингера опять является одномерным, как и в случае одномодового лазера, так что собственные функции можно выбрать действительными, и что потенциал удивительно похож в обоих случаях К сожалению, пока не найдено аналитическое решение данного уравнения, хотя имеются его численные решения. На рис. 19.19 показаны графики некоторых собственных значений типа как функций от а. Необходимо отметить, что Аюоо и в отличие от других собственных значений, стремятся к нулю при увеличении параметра накачки а. Как всегда, наименьшее собственное значение

и соответствующая собственная функция

дают стационарное решение уравнения Фоккера — Планка. Этот вывод, очевидно, следует из (19.4.4). Таким образом, наиболее общее решение уравнения, выраженное через принимает вид

Из преобразований (19.4.9) и (19.4.10) следует, что элемент объема имеет вид

и собственные функции нормированы так, что

19.4.2. Функция Грина

Для вычисления различных двухвременных корреляционных функций лазерного поля, необходимо также знать функцию Грина или плотность условной вероятности того, что х характеризует состояние в момент времени если характеризовал в момент В стационарном состоянии функция зависит только от и не зависит от и, будучи плотностью вероятности, должна удовлетворять тому же уравнению Фоккера — Планка, что и Следовательно, должна также выражаться в виде (19.4.4), с тем ограничением, что она сводится к при Анализ (19.4.4) показывает, что выбор

приводит к правильной функции Грина

поскольку она сводится к при Таким образом, в стационарном состоянии совместная плотность вероятности определяется формулой

В новых переменных это выражение принимает вид

19.4.3. Корреляционные функции

Теперь легко вычислить любую двухвременную функцию корреляции. Из (19.4.10) сразу получаем при :

Используя свойства полиномов Якоби, можно показать, что

Рис. 19.20. Нормированные функции корреляции интенсивности, вычисленные по формуле (19.4.33) для различных значений параметра накачки а: а — функция автокорреляции; б - функция взаимной корреляции (М. Tehrani and Mandel, 1978а)

Рис. 19.21. Сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей среднего времени автокорреляции интенсивности кольцевого лазера от параметра накачки а. Сплошная кривая — результат расчета по формуле (19.4.33) (Singh and Mandel, 1981)

так что, окончательно,

Некоторые примеры функций корреляции, вычисленных по данной формуле, показаны на рис. 19.20. В области порога форма автокорреляционных функций близка к экспоненциальной, однако выше порога становятся заметными вклады дополнительных экспоненциальных членов. Поскольку собственное значение Аюоо стремится к нулю при увеличении а, как показано на рис. 19.19, корреляционные функции целиком определяются при больших членом а времена корреляции монотонно возрастают с увеличением параметра накачки выше порога. В этом отношении двухмодовый кольцевой лазер существенно отличается от одномодового лазера.

На рис. 19.21 показаны результаты измерений скорости затухания функции корреляции интенсивности в кольцевом лазере при в случае малой асимметрии между модами. Среднее время затухания определяемое по формуле

показано как функция параметра накачки а, где коэффициенты задаются соответствующими коэффициентами перед в (19.4.33). Вследствие асимметрии, следует ожидать небольшое различие между константами затухания для двух мод, однако оно слишком мало, чтобы его можно было обнаружить экспериментально. Необходимо отметить, что наблюдаемая зависимость, обычно, соответствует поведению собственного значения Аюоо (см. рис. 19.19б) в области значений параметра накачки от — 12 до 2. Выше имеются возрастающие отклонения от теоретических зависимостей, которые, как полагают, обязаны обратному рассеянию из одной моды в другую.

Рис. 19.22. Теоретическая форма нормированной корреляционной функции второго порядка комплексной амплитуды моды кольцевого лазера, полученная из (19.4.36) при различных значениях параметра накачки а и при (M-Tehrani and Mandel, 1978а)

Корреляционные функции второго порядка, типа можно вычислить подобным же образом. Вследствие статистической независимости двух фаз, в силу симметрии, имеем

Теперь,

Согласно свойствам полиномов Якоби

так что окончательно

Таким образом, спектральная плотность лазерного поля представляет собой сумму лоренцевых функций, имеющих различную ширину и центрированных на частоте Однако поскольку собственное значение в отличие от остальных, спадает до нуля при увеличении а, следует ожидать, что это собственное значение будет целиком определять поведение функции корреляции при увеличении а. На рис. 19.22 показаны некоторые примеры корреляционных функций второго порядка, вычисленных по формуле (19.4.35) для различных значений а. Видно, что они имеют почти экспоненциальный вид, так что спектральная плотность должна быть почти лоренцевой.