11.9. Оптическая теорема эквивалентности для нормально упорядоченных операторов

До сих пор диагональное представление оператора плотности по когерентным состояниям являлось лишь компактным представлением для Его основные преимущества становятся очевидными, если воспользоваться им для вычисления средних значений операторов, особенно тех, которые являются наиболее важными в квантовой оптике.

Как мы увидим в разд. 12.2, большинство лабораторных измерений оптического поля описываются средними значениями некоторых простых нормально упорядоченных произведений операторов рождения и уничтожения, т.е. произведениями, в которых все операторы рождения располагаются слева от операторов уничтожения. Средние значения таких операторов особенно удобно вычислять с помощью диагонального представления (Sudarshan, 1963; Glauber, 1963b; Klauder, 1966; Klauder and Sudarshan, 1968, разд. 8.4). Кроме того, этот метод подчеркивает, что функция в разложении ведет себя как весовая функция в фазовом пространстве или как плотность квазивероятности.

Рассмотрим произвольную нормально упорядоченную функцию операторов уничтожения и рождения которую можно разложить в степенной ряд следующим образом:

Среднее значение в состоянии, характеризуемом оператором плотности определяется выражением

Подставим в (11.9.2) диагональное представление (11.8.1) оператора и разложение (11.9.1) для

В результате получим

где было использовано тождество Теперь учтем, что есть левый собственный вектор оператора , а правый собственный вектор оператора а. Поэтому

Таким образом, среднее значение нормально упорядоченного оператора можно найти, заменяя операторы а, а) на их правые и левые собственные значения и, соответственно, и усредняя полученную с-числовую функцию по всей комплексной -плоскости, используя как весовую функцию. Среднее значение квантово-механического оператора, следовательно, определяется таким же образом, как и среднее значение соответствующей с-числовой функции в классической оптике. Если рассматривать как комплексную случайную переменную с "плотностью вероятностей" то среднее значение функции правильнее обозначить следующим образом:

где означает усреднение по ансамблю с весовой функцией Выражение (11.9.4), таким образом, можно записать в более компактном виде:

Отметим, что угловые скобки в левой части данного выражения обозначают квантово-механическое среднее, тогда как те же скобки в правой части обозначают среднее по ансамблю с весовой функцией

Этот результат, полученный Сударшаном (Sudarshan, 1963), был назван Клаудером (Klauder, 1966) оптической теоремой эквивалентности, поскольку он означает формальную эквивалентность между средними значениями нормально упорядоченных операторов в квантовой оптике и средними значениями соответствующих с-числовых функций в классической оптике. Излишне говорить, как подчеркивал Сударшан (Sudarshan, 1963b), что эта теорема не означает эквивалентность квантовой электродинамики и классической оптики. Мы видели, что относится к перекрывающимся квантовым состояниям и не обязательно имеет характер классической плотности вероятности. Однако, в тех случаях, когда ведет себя как классическая плотность вероятности, действительно имеется незначительная разница между вычислением квантовых и соответствующих классических средних значений.

Функция не единственная весовая функция, которая позволяет вычислять средние значения операторов как классические средние. Мы уже сталкивались с распределением Вигнера в разд. 11.8.1. Однако, отличается от других весовых функций тем, что она совпадает с соответствующей классической плотностью вероятности всякий раз, когда существует классическое описание поля. Довольно капризное поведение в случае строго неклассических состояний есть цена, которую необходимо уплатить за соответствие с классической оптикой.

В качестве простого примера применения оптической теоремы эквивалентности, вычислим среднее число фотонов поля. Поскольку оператор числа частиц равен сразу находим

Вычисленный нами интеграл в формуле (11.8.22) имел точно такой же вид. В частности, в случае когерентного состояния поля, для которого имеет вид (11.8.13), получаем

что согласуется с (11.2.13).