4.7.2. Строгое представление взаимной спектральной плотности в виде корреляционной функции

Теперь с помощью представления по когерентным модам построим ансамбль строго монохроматических волновых функций одной и той же частоты такой, что взаимная спектральная плотность будет равна их взаимной корреляционной функции. Математический анализ, лежащий в основе такого построения, отчасти аналогичен уже встречавшемуся нам ранее в связи с ортогональным разложением Карунена — Луева для случайного процесса (см. разд. 2.5.1).

Рассмотрим набор функций каждая из которых является линейной комбинацией собственных функций интегрального уравнения (4.7.10):

В этом разложении представляют собой случайные коэффициенты, свойства которых мы вскоре определим. Тогда взаимная корреляция для в двух точках поля определяется как

где угловые скобки с индексом обозначают среднее по ансамблю частотно-зависимых функций что эквивалентно среднему по ансамблю случайных коэффициентов Предположим, что мы выбираем коэффициенты таким образом, что

где собственные значения интегрального уравнения символ Кронекера. Потребуем также, чтобы для каждой реализации выполнялось условие

Подобный ансамбль можно получить, полагая, например, что

где для каждого представляет собой случайную переменную, равномерно распределенную в интервале статистически независимы при Выбранный таким образом ансамбль, очевидно, удовлетворяет требованию (4.7.31). Условие (4.7.32) также выполняется, так как

а сумма собственных значений интегрального уравнения с непрерывным ядром Гильберта — Шмидта, как известно, является конечной разд. 3.12, выражение 8, при То, что сумма в правой части (4.7.34) конечна, также очевидно из соотношения (4.7.25).

Нетрудно показать, что каждая из выборочных функций заданная в виде разложения (4.7.29), при соблюдении ограничений (4.7.32) является квадратично интегрируемой в области Для этого возьмем интеграл от квадрата модуля по области Если затем под знаком интеграла заменить соответствующим разложением (4.7.29) и поменять порядок операций интегрирования и суммирования, мы получим формулу

Поскольку согласно (4.7.12) функции образуют ортонормированное множество, выражение (4.7.35) принимает вид

Правая часть полученного выражения конечна в силу условия (4.7.32). Подставим (4.7.31) в (4.7.30). В результате мы получим формулу

Сравнивая правую часть полученного выражения с правой частью разложения Мерсера (4.7.9) для взаимной спектральной плотности, мы видим, что они равны. Следовательно, равны также и их левые части,

Таким образом, мы построили ансамбль случайных полей, позволяющих представить взаимную спектральную плотность заданного поля в виде взаимной корреляционной функции по этому ансамблю.

Поскольку, исходя из (4.7.18), каждый член в разложении (4.7.29) удовлетворяет уравнению Гельмгольца, каждая функция из нашего ансамбля также удовлетворяет этому уравнению, т.е.

где волновое число, связанное с частотой

Заметим, что выражение (4.7.38) имеет некоторое сходство с формулой (4.3.39), выражающей взаимную спектральную плотность через Более того, также, как и в свободном пространстве удовлетворяет уравнению Гельмгольца Тем не менее, все проведенные нами ранее расчеты с

использованием касающиеся стационарных полей, можно рассматривать только как эвристические, поскольку была формально введена нами как фурье-образ случайной функции Но, как мы уже неоднократно отмечали, фурье-образ стационарной случайной функции не существует в рамках теории обычных функций. Строго говоря, он может рассматриваться только как обобщенная функция. В то же время в рассматриваемой теории представляют собой обычные функции и с их помощью можно дать строгую формулировку многих полученных ранее результатов.

Помимо большей математической строгости, формула (4.7.38) для взаимной спектральной плотности и ее «диагональная» форма

для спектральной плотности поля в точке хорошо согласуется с физическим смыслом, который мы интуитивно вкладываем в эти понятия. Поскольку, исходя из (4.7.38) и (4.7.39), каждый член ансамбля можно рассматривать как не зависящую от времени часть монохроматической волновой функции

то и спектр и взаимный спектр поля представляют собой средние от величин, квадратичных по комплексной амплитуде.