2.6. Временная эволюция и классификация случайных процессов

2.6.1. Плотности условной вероятности

Как уже было показано выше, существует целая иерархия совместных плотностей вероятности которой высшие порядки содержат, в общем случае, все больше и больше информации о случайном процессе и о его временной эволюции (см. например, Oppenheim, Shuler and Weiss, 1977, гл. 2). Вследствие того, что на будущую временную эволюцию оказывает влияние его поведение в прошлом, часто удобно ввести условные плотности вероятности дающие n-кратные совместные плотности вероятности, такие что х имеет значение в момент времени в момент времени в момент времени которая зависит от значения в момент времени от в момент времени от в момент времени По аналогии с (1.2.12) выражается как отношение двух плотностей вероятностей

здесь подразумевается, что моменты времени упорядочены нормирована на единицу при интегрировании по всем

Если умножить обе стороны выражения (2.6.1) на положить и проинтегрировать обе части по то получим

Это формула дает распределение вероятности по в более поздний момент времени, которое получается из распределения в более ранний момент времени, если известна плотность условной вероятности

Однако может зависеть от прошлой истории случайного процесса. В специальном случае, когда два момента времени равны, переходит в дельта-функцию

В какой мере значения х в более ранние моменты времени оказывают влияние на в более поздние моменты зависит от динамики случайного процесса. Некоторые случайные процессы эволюционируют таким образом, что их история оказывает на них слабое влияние, в других случаях прошлое оказывает сильное влияние на Далее мы введем естественную классификацию, основанную на том, как прошлое влияет на динамику случайного процесса в данный момент времени.