10.7.2. Операторы косинуса и синуса

Как было показано в работах (Susskind and Glogower, 1964) и (Carruthers and Nieto, 1965, 1968), уйти от трудностей можно, избегая операторов и вводя вместо них операторы С и , которые являются аналогами косинуса и синуса Положим

где задается, как и ранее, оператором Как (7, так и явно являются эрмитовыми операторами, несмотря на то, что не унитарен, и С

Из соотношений (10.4.1) и (10.4.2), подставляя находим

и, умножая слева на чтобы исключить квадратный корень, получим

Аналогичным образом можно показать, что

Суммируя и вычитая эти выражения, получим

Эти коммутационные соотношения сразу же приводят к соотношениям неопределенности

которые приходят на смену выражению (10.7.9). Из (10.7.12) также следует, что выражение (10.7.6), на самом деле, верно, несмотря на то, что неунитарный оператор.

Можно показать, что операторы имеют непрерывный спектр в пределах от —1 до 1, чего и следовало ожидать для операторов косинуса и синуса. Однако, не коммутируют, что предполагает существование двух различных операторов фазы

которые не коммутируют друг с другом. Несмотря на некоммутативность и вытекающие отсюда затруднения в определении абсолютной фазы, можно показать, что разность фаз между двумя модами поля может быть, в принципе, определена с произвольной точностью, даже если полное число фотонов определено точно, но при условии, что не заданы по отдельности. Допустим, что двум модам соответствуют две плоские электромагнитные волны, распространяющиеся под углом друг к другу. В этом случае разность фаз может быть определена из интерференционного эксперимента. Сопоставим индексы 1 и 2 двум модам и напомним, что операторы, относящиеся к различным модам, коммутируют. Рассмотрим оператор который является квантовомеханическим аналогом выражения Его коммутатор с оператором полного числа фотонов с учетом выражений (10.7.12) и (10.7.13), имеет вид