6.3.3. Степень поляризации

Теперь покажем, что любая матрица когерентности может быть единственным образом выражена как сумма двух матриц, одна из которых представляет полностью неполяризованный свет, а другая — полностью поляризованный свет. Это означает, что всегда можно выразить в виде

где

причем

Для того, чтобы это показать, будем снова полагать, что элементы матрицы когерентности Согласно выражениям (6.3.16) и (6.3.17) имеем

Подставляя в уравнение из уравнений (6.3.19) и из уравнений (6.3.20), получаем следующее уравнение для элемента А:

Это уравнение показывает, что А является собственным значением матрицы когерентности Можно сразу же найти решения уравнения (6.3.21) (Wolf, 1959)

В силу того, что матрица когерентности эрмитова и неотрицательно определена [см. (6.2.8) и (6.2.9)], оба собственных значения А являются неотрицательными, что легко может быть проверено прямым расчетом.

Сначала рассмотрим значение А, задаваемое выражением (6.3.22) со знаком минус перед квадратным корнем. Подставляя это значение в уравнения (6.3.19), получаем следующие выражения для элементов В и С:

Теперь, если мы воспользуемся соотношением эрмитовости то сразу же найдем, что

и, следовательно, матричные элементы задаваемые выражениями (6.3.23), являются неотрицательными, что требуют два из трех неравенств (6.3.18а). С другой стороны, можно легко показать, что другое значение А, задаваемое уравнением (6.3.22) с положительным знаком перед квадратным корнем, дает отрицательные значения для и поэтому оно не удовлетворяет двум неравенствам из трех неравенств (6.3.18а). Следовательно, мы показали, что существует единственное разложение матрицы когерентности в виде (6.3.16).

Из выражения для матрицы когерентности поляризованной части света [вторая матрица в уравнении (6.3.17)] и из выражений (6.3.23) следует, что ее след задается как

и, следовательно, отношение

Теперь согласно (6.2.7) след матрицы когерентности волны пропорционален среднему значению плотности электрической энергии, и мы можем поэтому рассматривать след как меру интенсивности волны. Следовательно, отношение которое мы обозначили буквой в формуле (6.3.26), представляет собой

отношение «поляризованной части» волны к ее полной интенсивности. По этой причине называется степенью поляризации волны, представленной матрицей когерентности Ввиду неравенства (6.3.24) ясно, что степень поляризации, заданная выражением в правой части уравнения (6.3.26), является неотрицательной величиной, значения которой ограничены нулем и единицей, т.е.

Из уравнения (6.3.26) следует, что когда детерминант матрицы когерентности имеет нулевое значение, что в точности является условием (6.3.9) полностью поляризованного света. Когда мы имеем согласно (6.3.26) соотношение которое, записанное в явном виде, означает, что

В силу того что, согласно уравнению левая часть уравнения (6.3.28) является суммой двух квадратов, и каждое из двух слагаемых обязательно должно быть равно нулю, т.е. о. Это в точности условия (6.3.2) и (6.3.3) неполяризованного света. Во всех других случаях свет называют частично поляризованным.

Заметим, что выражение (6.3.26) для степени поляризации тождественно выражению в правой части уравнения (6.2.30) и, следовательно,

Таким образом, левая часть выражения (6.3.29), которая, как мы уже отмечали, аналогична выражению для видности интерференционных полос в интерференционном эксперименте Юнга, в точности равна степени поляризации светового луча. Ввиду (6.3.29) выражения (6.3.6) и (6.3.14) теперь приобретают ясный смысл.

Из соотношения (6.3.26) очевидно, что степень поляризации не зависит от выбора осей потому что она выражается через инварианты матрицы когерентности при повороте осей вокруг направления распространения.

Степень поляризации также может быть легко выражена через собственные значения матрицы когерентности т.е. через два корня уравнения (6.3.21), заданные выражением (6.3.22). С этой целью мы вспомним, что каждая эрмитова матрица может быть диагонализирована с помощью унитарного преобразования и что ее след и ее детерминант инвариантны при таком преобразовании (в общем, это унитарное преобразование не будет отображать реальный поворот осей вокруг направления распространения волны). Следовательно,

Подставляя (6.3.30) в (6.3.26), мы получим требуемое альтернативное выражение для степени поляризации, а именно

Наконец, выразим степень поляризации через четыре параметра Стокса, а не через элементы матрицы когерентности. Из соотношений (6.2.406) мы сразу же найдем, что

Подставляя эти формулы в уравнение (6.3.26), мы получим требуемое выражение для степени поляризации

Из этого выражения следует, что для полностью поляризованного луча имеем

тогда как для полностью неполяризованного луча

Состояние поляризации полностью поляризованной волны может быть представлено геометрически на сфере, известной как сфера Пуанкаре. Существуют также интересные геометрические представления для волн с произвольной степенью поляризации. Некоторые соотношения касаются степени поляризации степени корреляции и параметров, которые характеризуют эллипс поляризации поляризованной части луча. Обсуждение некоторых из этих тем может быть найдено, например, у Борна и Вольфа (Born and Wolf, 1980, разд. 10.8.2), Вольфа (Wolf, 1959) и Паррента и Романа (Parrent and Roman, 1960).