18.6. Решение зависящего от времени уравнения движения

Ранее мы получили и обсудили только стационарное поведение лазерного поля. Теперь, показав, что поле описывается уравнением Фоккера — Планка как в рамках полностью квантовой, так и в рамках полуклассической теорий, обратимся к общему решению зависящего от времени уравнения движения (18.3.4) или

Решение можно получить разделением переменных. Представим зависящую от времени плотность вероятности в виде

и подставим ее в (18.6.1). В результате получим уравнение

Поскольку левая часть уравнения зависит только от а правая часть только от каждая из них должна быть равна некоторой константе Таким образом, получаем два отдельных уравнения для

решение которого имеет вид

и

Уравнение (18.6.4) представляет собой уравнение на собственные значения в двумерном векторном пространстве, а соответствующие собственные значения и собственные функции образуют двумерный массив, и их удобно различать индексами Общее решение таким образом, принимает вид

где постоянные определяются из начальных условий. Поскольку существует стационарное решение задаваемое формулой (18.3.12), одно из собственных значений должно быть равно нулю. В качестве такового выберем Соответствующая ему собственная функция следовательно, есть С помощью преобразования

дифференциальное уравнение (18.6.4) преобразуется в уравнение Штурма — Лиувилля

где

Исходя из общих свойств решения такого уравнения (Ross, 1964, гл. 12), можно показать, что различные собственные функции ортогональны. Кроме того, будем считать их нормированными, так что

Более того, если собственные значения имеют нижнюю границу (как в данном случае, ибо наименьшее собственное значение должно быть равно нулю, если решение (18.6.5) не расходится при то собственные функции образуют полный набор

Уравнение (18.6.7) легче решается в полярных координатах Положим

так что

и сделаем другое разделение переменных, записывая

Подстановка в уравнение (18.6.7) и деление на приводит к уравнению

Еще раз отметим, что левая часть данного уравнения зависит только от а правая часть только от в, так что обе части должны быть равны константе и не должны зависеть ни от ни от хотя константа

в общем случае будет зависеть от Поскольку мы ищем решения, периодичные по в, естественно положить константу равной Это приводит к следующему дифференциальному уравнению относительно в:

с нормированным решением

и уравнению относительно

где

Последнее можно рассматривать как одномерное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциале» Таким образом, задача лазера свелась к задаче нахождения собственных функций и собственных значений уравнения шредингеровского типа. Форма потенциала показана на рис. 18.19 для нескольких значений параметра накачки а. Функции при качественно похожи друг на друга, за исключением того, что они не убывают, а возрастают в области

Из рис. 18.19 ясно видно, что решения соответствуют связанным состояниям, и что как собственные функции, так и собственные состояния, очевидно, одинаковы для До сих пор не удалось найти аналитических решений уравнения (18.6.16), но получены численные решения как для так и для (Risken, 1965, 1966; Risken and Vollmer, 1967a,b; Hempstead and Lax, 1967). На рис. 18.20 показаны первые четыре собственные значения типа как функции параметра накачки а.

Рис. 18.19. Форма потенциала для трех различных значений параметра накачки a (Risken and Vollmer, 1967а). Потенциалы стремятся к в точке

Рис. 18.20. Зависимость первых четырех собственных значений от параметра накачки а. Пунктирная кривая описывает зависимость эффективного среднего обратных собственных значений

Рис. 18.21. Зависимость собственного значения от параметра накачки а. Пунктирная кривая соответствует аппроксимациям: для отрицательного для (Risken, 1970)

Отметим, что все собственные значения имеют минимум немного выше порога. Сплошная кривая на рис. 18.21 изображает собственное значение как функцию параметра накачки а. Собственное значение стремится асимптотически к нулю как для больших а, однако собственные значения типа высшего порядка проходят через минимум, точно так же, как Собственное значение конечно, равно нулю, и

из выражений (18.6.8), (18.6.13) и (18.6.15) следует, что собственная функция нулевого порядка задается выражением

где константа выбирается подходящим образом, чтобы гарантировалась нормировка Вследствие соотношений ортонормальности (18.6.9) все собственные функции нормированы, так что

тогда как соотношение полноты (18.6.10) означает, что

С учетом выражений (18.6.5), (18.6.6), (18.6.15) и (18.6.18) общее решение уравнения Фоккера — Планка (18.6.1) можно теперь записать в виде

с условием нормировки

Константы выбираются так, чтобы выполнялись граничные условия при