4.4.2. Распространение корреляций от плоскости

Рассмотрим флуктуирующее оптическое поле распространяющееся в полупространстве Выразим функцию взаимной когерентности световых колебаний в любых двух точках поля через значения функции взаимной когерентности и некоторых ее производных во всех парах точек плоскости (рис. 4.9).

Так как уравнения Гельмгольца (4.4.12), которым подчиняется взаимная спектральная плотность, проще, чем волновые уравнения для функции взаимной когерентности, рассмотрим сначала распространение взаимной спектральной плотности. Воспользуемся функциями Грина, определяющими решение уравнения Гельмгольца в полупространстве с граничными условиями Дирихле. Необходимо, однако, позаботиться об определении поведения на достаточном расстоянии от плоскости. Поскольку поле распространяется в полуплоскости из (4.3.39) следует, что асимптотически ведет себя как уходящая волна в точке и как приходящая волна в точке

Рис. 4.9. К задаче о распространении взаимной спектральной плотности и взаимной когерентности от плоскости в полупространстве

Для начала запишем решение уравнения (4.4.126) для через при условии, что расположена в плоскости положение 11 зафиксировано. Согласно дифракционной формуле Рэлея первого рода (3.2.78) имеем

где означает дифференцирование вдоль оси. Аналогичным образом получим формулу

где Подставляя выражение (4.4.14) в (4.4.13), находим

Эта формула выражает значение функции взаимной спектральной плотности поля в полупространстве через граничные значения этой функции на плоскости Преобразуем ее с учетом следующих выражений

где — углы, которые отрезки образуют с положительным направлением оси Подставляя (4.4.16) в (4.4.15), получим

Формула (4.4.17) представляет собой искомое выражение для распространения взаимной спектральной плотности.

Прежде чем перейти к дальнейшим вычислениям приведем приближенный вид (4.4.17), справедливый для случая, когда точки удалены на расстояние порядка многих длин волн от плоскости При этом следовательно, Тогда (4.4.17) принимает вид

Из (4.4.17) можно легко получить искомый закон распространения функции взаимной когерентности. Умножим обе части (4.4.17) на и проинтегрируем по интервалу Тогда левая часть полученного выражения представляет функцию взаимной когерентности [см. (4.3.40а)]. Для преобразования правой части мы воспользуемся тем, что

Дифференцируя это выражение и меняя затем местами порядок различных операций, получим

где использовано соотношение В итоге получим следующую формулу (см. Parrent, 1959) для функции взаимной когерентности света в любых двух точках полупространства

где дифференциальный оператор

Из (4.4.20) видно, что, зная функцию взаимной когерентности, ее первую и вторую производные по для всех пар точек плоскости можно найти значения функции взаимной когерентности для всех пар точек в полуплоскости и для всех значений

Если точки удалены от плоскости настолько, что для всех точек этой плоскости и для всех длин волн для которых имеет существенное значение, то формула (4.4.20) упрощается. В этом случае, просто осуществив фурье-преобразование выражения (4.4.18) и воспользовавшись затем (4.4.196), мы находим, что

где вторая производная по от

С помощью приведенных формул можно получить ряд полезных результатов, имеющих отношение к когерентным свойствам оптических образов, задачам радиометрии, касающимся определения углового распределения интенсивности излучения источников различных состояний когерентности и т.д. Эти вопросы мы рассмотрим несколько позднее.