10.4. Энергетический спектр; фотоны

Важные различия между классической и квантовой теориями излучения выявляются при анализе спектра оператора энергии, определяемого выражениями (10.3.4) или (10.3.16) (Messiah, 1961, гл. 12). Соответствующее классическое выражение (10.2.31) допускает всевозможные неотрицательные значения энергии, что неверно в случае операторного выражения для Эрмитов оператор в выражении (10.3.16) имеет особое значение и будет в дальнейшем обозначаться как Мы увидим, что его спектр представляет собой множество целых чисел и т.д. Из коммутационных соотношений (10.3.9) и (10.3.10) получим

и, по аналогии,

Рассмотрим теперь собственные значения оператора зная которые можно сразу определить собственные значения оператора Пусть собственное значение оператора соответствующее нормированное собственное состояние, тогда

Так как эрмитов оператор, число безусловно, действительное.

Далее мы рассмотрим состояние С помощью выражения (10.4.2) можно записать

и, используя (10.4.3), находим

Сравнение выражений (10.4.4) и (10.4.3) показывает, что если собственное состояние оператора относящееся к собственному значению то состояние также является собственным состоянием оператора относящимся к собственному значению Следовательно, с точностью до некоторой нормировочной константы мы имеем

Отсюда следует, что оператор а, действующий на собственное состояние оператора приводит к увеличению соответствующего собственного значения на единицу. Значение нормировочной константы легко определить. Пронормируем обе части последнего выражения

и воспользуемся коммутационным соотношением (10.3.9) и выражением (10.4.3). Получим

или

Отсюда, опуская унимодулярный множитель, получаем

Повторное проведение этих рассуждений приводит нас к выводу, что если собственное значение оператора то и т.д. также являются собственными значениями оператора и

Спектр собственных значений оператора таким образом, неограничен сверху.

Далее рассмотрим состояние Используя (10.4.1), получим

и с помощью (10.4.3) находим

Отсюда следует, что также является собственным состоянием оператора относящимся к собственному значению и, таким образом,

где другая нормировочная константа. Как и ранее, нормируя обе части полученного выражения, можно найти значение Опуская унимодулярный множитель, получаем

Повторно применяя оператор получаем, что и т.д. также являются собственными значениями оператора и

Последовательность чисел и т.д., вообще говоря, должна содержать и отрицательные члены, однако легко показать, что собственные значения оператора на самом деле не могут быть отрицательными. произвольное собственное состояние оператора относящееся к собственному значению тогда для нормы вектора найдем

Последовательность собственных значений таким образом, ограничена снизу и не может содержать отрицательные числа. Это требование согласуется с выражениями (10.4.8) и (10.4.9) только при условии, что наименьшее собственное значение равно нулю. Из выражения (10.4.10) мы видим, что представляет собой нулевой вектор

так что последовательность ограничивается автоматически. Спектр оператора таким образом, представляет собой множество целых неотрицательных чисел и т.д. Оператор известен как оператор числа частиц -моды.