22.4. Параметрическая вниз-конверсия

В качестве второго примера нелинейного взаимодействия рассмотрим процесс параметрической вниз-конверсии (down-conversion), который является, в некотором смысле, обратным процессу генерации гармоник. В то время как в последнем случае два падающих фотона порождают один фотон на удвоенной

Рис. 22.1. Процесс параметрической вниз-конверсии в нелинейном кристалле с восприимчивостью волна накачки, С — сигнальная волна, X — холостая волна

первоначальной частоте, в параметрической вниз-конверсии один фотон, падающий на диэлектрик, имеющий -нелинейность, распадается на два новых фотона более низких частот (см. рис. 22.1). Исторически они получили названия сигнальный фотон и холостой фотон. Если два новых фотона неразличимы, то можно описать процесс тем же самым гамильтонианом (22.3.1), как и раньше. Однако мы будем рассматривать несколько более общую ситуацию, в которой падающие фотоны частоты распадаются на два фотона более низких частот, которые отличаются друг от друга либо направлениями, либо величиной их волновых векторов либо и тем и другим. В стационарном случае мы всегда имеем

где известна как частота накачки параметрического процесса, и известны как сигнальная и холостая частоты. Процесс спонтанной параметрической вниз-конверсии в нелинейном кристалле был впервые исследован теоретически Клышко (Klyshko, 1968) и экспериментально Бернхемом и Вейнбергом (Burnham and Weinberg, 1970), которые показали, что сигнальный и холостой фотоны появляются «одновременно» в пределах времени разрешения детекторов и действующей совместно электроники. Имеется значительное количество литературы, возвращающей нас к годам, по теории параметрического усиления и вверх- и вниз-конверсии. (Что касается ранних работ по параметрическому усилению и вниз-конверсии, см. Louisell, 1960; Yariv, 1967; Mollow, 1967, 1973; Mollow and Glauber, 1967a, b; Kleinman, 1968; Zeldovich and Klyshko, 1969). Если выполняется условие фазового синхронизма, то волновые векторы ко, фотона накачки, сигнального и холостого фотонов связаны соотношением

которое отражает закон сохранения импульса.

Гамильтониан для трехмодового параметрического процесса может быть записан в следующем виде, который является очевидным обобщением выражения (22.3.1),

Можно легко доказать, что

и поэтому является интегралом движения, что соответствует процессу деления одного фотона накачки на один сигнальный и один холостой фотон. Разлагая в ряд Тейлора ) и используя уравнение движения Гейзенберга, чтобы построить производную по времени, можно, как и ранее, получить решения на коротких временах для При этом за счет упрощения гамильтониана проблема сводится к задаче, имеющей простое аналитическое решение (Graham, 1984).

22.4.1. Решение уравнений движения

Предположим, что падающее поле накачки является интенсивным и что мода накачки может быть рассмотрена классически как поле комплексной амплитуды Тогда гамильтониан (22.4.3) имеет только две квантованные моды поля, соответствующие сигнальной 1 и холостой 2 модам; вклад от классической накачки больше не появляется. Однако поскольку амплитуда накачки теперь считается постоянной, мы должны иметь в виду, что решение перестает быть верным, как только произойдет заметный распад и, следовательно, заметное истощение поля накачки. Поэтому ограничим наши вычисления случаем Из гамильтониана

мы имеем поэтому является интегралом движения и

Это соотношение отражает тот факт, что сигнальный и холостой фотоны всегда рождаются вместе. Уравнение движения Гейзенберга для принимает вид

Как и прежде удобно ввести медленно изменяющиеся комплексные амплитуды мод

Тогда подчиняется простому уравнению движения

Если то имеем

Дифференцируя второй раз и подставляя выражение для из второго уравнения в первое, мы получаем несвязанные уравнения при действительном

Общие решения этих уравнений легко могут быть получены, и при подходящих граничных условиях они принимают вид

где Легко убедиться, что эти решения удовлетворяют уравнению (22.4.5).