18.8.4. Тест на детерминированный хаос

Поскольку хаотические и стохастические процессы имеют некоторые сходства, полезно иметь практический способ определения того, является ли записанное множество данных детерминировано хаотическим или стохастическим. Такой тест был разработан (Grassberger and Procaccia, 1983; Ben-Mizrachi, Procaccia and Grassberger, 1984) и применен к некоторым лазерным полям (Albano, Abounadi, Chyba, Searle, Yong, Gioggia and Abraham, 1985; Chyba, Christian, Gage, Lett and Mandel, 1986). Мы рассмотрим подход, который использовался в последнем эксперименте.

Предположим, что имеется некоторая временная последовательность данных, например, значений интенсивности лазерного света в моменты времени где постоянный шаг во времени. Обозначим через Построим из чисел -мерный разностный вектор, задаваемый формулой

Величина обычно, называется размерностью вложения. Пусть есть число разностных векторов, длина которых меньше Мы можем построить график зависимости от для возрастающих размерностей вложения Результирующие кривые, обычно, имеют линейный участок в области малых если не считать возможных возмущающих эффектов, вызванных посторонним шумом. Для больших кривые, обычно, выходят на одинаковый горизонтальный уровень, что связано с конечными размерами образца. Сосредоточимся на линейном участке кривых для малых и обозначим наклон кривых через В случае чисто случайного процесса, изображающие точки в фазовом пространстве должны быть равномерно распределены внутри -мерной сферы достаточно малого радиуса так что величина пропорциональна При наклон совпадает с размерностью вложения и неограниченно возрастает при для стохастического процесса. С другой стороны, в случае детерминированной системы с хаотическим поведением, изображающие точки которой не распределены равномерно в малом

масштабе, наклон стремится к конечному значению при увеличении Предел

если он существует, называется информационной размерностью второго порядка множества данных и является характеристикой хаотического поведения.

Рис. 18.37. Пример зависимости от при различных значениях от 2 до 20, полученной экспериментально

На рис. 18.37 показаны зависимости от для нескольких различных значений которые получены в результате измерений интенсивности света примесного кольцевого лазера. График зависимости наклона прямых участков на рис. 18.37 от размерности вложения будет демонстрировать наличие постоянного неограниченного роста. Последнее означает, что лазер является стохастическим, а не хаотическим.

Другой полезный тест детерминистического хаоса основан на отношении соседних кривых Для того, чтобы увидеть, как данное отношение ведет себя в случае истинно случайного процесса, нам необходимо более тщательно рассмотреть структуру В случае, когда изображающие точки равномерно распределены в малой области фазового пространства, равно произведению плотности точек на объем V гиперсферы радиуса Если а есть средний интервал между то и объем гиперсферы в измерениях равен

Следовательно,

так что

В случае больших можно использовать аппроксимацию Стирлинга для -функции, что приводит к следующему результату

где в последней строке логарифмическая функция под знаком экспоненты представлена в виде степенного ряда. Пусть

Тогда ясно, что возрастает неограниченно по логарифмическому закону при увеличении для этого

полностью случайного процесса. С другой стороны, в случае детерминированного процесса стремится к некоторому пределу при увеличении для малых Если предел существует, то можно записать

Предел называется энтропией Колмогорова второго порядка и характеризует хаотическое поведение системы. Данные из рис. 18.37 демонстрируют постоянное увеличение при увеличении показывая, что данный лазер флуктуирует стохастически, а не хаотически.

Задачи

(см. скан)