5.6.3. Частично когерентные лучи
В разд. 5.5 мы узнали, что для генерации луча источником необязательно, чтобы этот источник был пространственно полностью когерентным. Фактически, как мы видели, даже те источники, которые являются некогерентными в глобальном смысле, могут генерировать поля этого типа. Теперь мы обсудим математическое представление частично когерентных лучей. В разд. 5.6.4 мы проиллюстрируем результаты, применяя их к лучам, создаваемым гауссовскими источниками модели Шелла.
В разд. 5.6.1 при изучении монохроматических лучей, мы заметили, что полезно начать с представления углового спектра монохроматических полей. Когда мы имеем дело с флуктуирующим полем, статистические свойства которого можно описать с помощью стационарного, по крайней мере, в широком смысле, ансамбля, основной величиной при рассмотрении является функция взаимной когерентности 
или ее фурье-образ — взаимная спектральная плотность 
Теперь согласно (4.7.38) взаимную спектральную плотность можно всегда представлять в виде корреляционной функции
где среднее [обозначаемое ранее как 
] берется по ансамблю монохроматических волновых полей 
с одинаковыми частотами 
Выбирая в качестве отправной точки уравнение (5.6.44), мы легко обобщим представление углового спектра для полей, находящихся в любом состоянии когерентности, которые распространяются в полупространство 
Для этой цели мы сначала выразим каждый член 
статистического ансамбля, представляющий собой частично когерентное поле, в виде углового спектра плоских волн [см. (5.6.3)], а именно
где
где с — скорость света в вакууме. Нужно отметить, что поскольку 
случайная функция, то такой же является и спектральная амплитудная функция 
Подставляя (5.6.45) в (5.6.44) и меняя порядок усреднения и интегрирования, мы получим следующее «двойное представление углового спектра» поля в точках 
в полупространстве 
:
где
Формула (5.6.47) представляет собой взаимную спектральную плотность поля в полупространстве 
в виде суперпозиции коррелированных пар плоских волн, как однородных 
так и затухающих 
распространяющихся в это полупространство. Плоские волны, формирующие каждую пару, являются, в общем случае, коррелированными и их корреляция характеризуется функцией 
которая известна как угловая корреляционная функция поля (Marchand and Wolf, 1972).
Мы вскоре увидим, что эта функция связана с взаимной интенсивностью излучения поля простым соотношением.
Если в (5.6.47) мы положим 
и возьмем обратное преобразование Фурье от результирующей формулы, то мы получим следующее выражение для угловой корреляционной функции через фурье-образ взаимной спектральной плотности поля на плоскости 
где
Когда точки поля 
находятся в дальней зоне источника, выражение (5.6.47) для взаимной спектральной плотности принимает более простой вид, который можно легко вывести при помощи асимптотической формулы (5.6.8). Предположим, что 
удаляются на бесконечность в заданных направлениях, определяемых единичными векторами 
соответственно. В асимптотическом пределе (т.е. в дальней зоне) при 
мы получим, подставляя (5.6.8) в (5.6.44) и используя (5.6.48), следующее выражение для взаимной спектральной плотности
Здесь 
проекции, рассматриваемые как двумерные векторы, единичных векторов 
на плоскость 
и — углы, которые составляют единичные вектора 
с положительным направлением оси z (см. рис. 5.6).
Сравнивая формулу (5.6.51) с уравнением (5.3.4), мы видим, что угловая корреляционная функция и взаимная интенсивность излучения связаны простой формулой:
Интенсивность излучения 
поля, согласно (5.2.14), представляет собой «диагональный элемент» взаимной интенсивности излучения. Таким образом, из (5.6.52) следует, что интенсивность излучения связана с «диагональным элементом» угловой корреляционной функции следующей формулой
Если подставить уравнения (5.6.52) и (5.6.53) в (5.3.12), то мы получим следующее выражение для спектральной степени когерентности дальнего поля через угловую корреляционную функцию:
Ввиду уравнения (5.6.48) первый множитель в правой части (5.6.54), очевидно, представляет собой количественную меру корреляции, которая существует между модами плоской волны поля, распространяющихся в направлениях, задаваемых единичными векторами 
По этой причине этот множитель иногда называют степенью угловой корреляции поля.
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на флуктуирующее поле, за исключением того, что оно представляется статистическим стационарным, в широком смысле, ансамблем и распространяется в полупространство 
Предположим теперь, что поле имеет структуру луча и распространяется в окрестности оси z. Интенсивность излучения такого поля 
будет отлична от нуля только для тех направлений 
которые лежат в узком телесном угле около оси z. Согласно (5.6.53), это означает, что 
будет иметь отличные от нуля значения только при 
Следовательно, ввиду неравенства
которое сразу следует из (5.6.54) и из того факта, что абсолютное значение спектральной степени когерентности не может быть больше единицы [см. (4.3.48)], 
будет иметь отличные от нуля значения только когда 
Таким образом, уравнение (5.6.47) суть представление взаимной спектральной плотности луча, который распространяется вблизи направления оси z, при условии, что
Используя (5.6.49), можно легко выразить условие для частично когерентного луча через ограничение на граничное значение взаимной спектральной плотности на плоскости 
а именно: величина 
должна содержать только низкие пространственно-частотные антидиагональные компоненты, т.е.
Из (5.6.46а) следует, что когда 
можно аппроксимировать следующим образом:
спектральные амплитуды которых 
являются случайными переменными, и с корреляционной функцией 
Подставляя (5.6.11) в (5.6.44), меняя порядок операций усреднения и интегрирования и сравнивая результирующее выражение с (5.6.59), мы сразу получим этот результат.
то мы получим следующее представление для 
через фурье-образ ее граничных значений на плоскости 
через граничные значения 
не прибегая к 
правую часть (5.6.60) и поменяем порядок интегрирования. Тогда мы получим формулу
функция Грина (5.6.15), явный вид которой определяется формулой (5.6.17).
