12.14.2. Неравенства Белла
Пусть 
являются двумя так называемыми дихотомическими наблюдаемыми, характеризуемыми параметрами а и измерение которых может дать только два возможных исхода, которые обозначим через +1 и —1. Например, 
может означать появление фотона на выходе поляризатора 
в плече 1 прибора, изображенного на рис. 12.10, а 
может означать отсутствие фотона на том же выходе. Пусть
— функция, описывающая корреляции между этими двумя наблюдаемыми и усредненная по всем возможным исходам. Согласно критерию реальности Эйнштейна, Подольского и Розена, существуют элементы реальности, которые предопределяют исход измерения. Пусть они определяются некоторым скрытым параметром 
имеющим плотность вероятности 
такую, что 
Тогда корреляционную функцию между наблюдаемыми 
и 
можно выразить в виде
В этом выражении подразумевается локальность, поскольку А зависит только от а, а В только от 
Тогда, так как 
и
Теперь мы сложим (12.14.12) и (12.14.13). Тогда
Но поскольку каждое В принимает значения только ±1, то отсюда следует, что
Подставляя полученный результат в (12.14.14) и используя условие нормировки 
получаем неравенство Белла (Bell, 1964, 1966)
Применим теперь это неравенство к эксперименту, показанному на рис. 2.10. Мы отождествляем а с углом поляризатора 
с углом поляризатора и связываем исход +1 с появлением фотона на выходе поляризатора, а —1 с отсутствием фотона на выходе. Тогда из (12.14.7) и (12.14.8) получаем корреляционную функцию
Она равна единице, когда 
что и следовало ожидать для полностью коррелированных событий, и —1, когда 
что соответствует полной антикорреляции.
При частном выборе углов поляризации, например,
получаем результат
который, очевидно, нарушает неравенство Белла (12.14.16). Из этого следует, что квантово-механическая двухфотонная система в синглетном состоянии не может быть описана в рамках реалистичной, локальной вероятностной теории.
Однако при выводе 
мы осознано исключили фотодетекторы, т.е. мы фактически считали квантовые выходы 
равными единице. Если бы квантовые выходы присутствовали в 
как они присутствуют, например, в (12.14.5), то, учитывая гипотезу (достоверной выборки) о том, что подансамбль детектируемых фотонов является типичным подансамблем всего ансамбля фотонов, неравенство Белла не нарушалось бы для малых значений 
Поэтому мы рассмотрим еще одно классическое неравенство, которое нарушается двухфотонным синглетным состоянием, которое не зависит непосредственно от значений 
