2.9.1. Моменты перехода для процесса Ланжевена

Начнем с вычисления момента перехода первого порядка. После интегрирования уравнения (2.9.1) по малому временному интервалу имеем

Хотя очень мало, интеграл в уравнении (2.9.5) нельзя заменить на потому что будучи некоррелированной, может флуктуировать даже в бесконечно малом интервале. Если мы вычислим среднее от обеих сторон этого уравнения, предполагая, что имеет некоторое заданное значение, разделим на и устремим к пределу , то получим вектор смещения случайного процесса [см. (2.8.46)]. Теперь

в силу уравнения (2.9.2), так что

Таким образом, мы показали, что усредненный ускоряющий член в уравнении Ланжевена есть вектор смещения случайного процесса. Это следует из того факта, что условная средняя скорость от

Далее, из уравнения (2.9.5) вычислим тензор диффузии. Для этого усредним произведение при условии (которое обозначено нижним индексом что х имеет данное значение при В результате

получим

Первый член справа стремится к нулю в пределе а средние второго и третьего членов равны нулю в силу того факта, что не зависит от в более поздний момент времени [см. (2.9.4)]. Для четвертого члена воспользуемся (2.9.3) и получим

Следовательно, сила шума Ланжевена дает тензор диффузии.

Подобный вывод можно использовать теперь для вычисления момента перехода любого высшего порядка и т.д., в результате чего будет обнаружено, что все моменты перехода высших порядков стремятся к нулю в пределе . Из уравнения (2.8.10) следует, что удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка второго порядка

и, аналогично, для Процесс Ланжевена, удовлетворяющий стохастическому уравнению, есть процесс Фоккера — Планка.