12.2. Фотоэлектрическое измерение оптического поля; нормальное упорядочение

В основе большей части измерений электромагнитного поля в оптической области лежит процесс поглощения фотонов посредством фотоэлектрического эффекта. Такое утверждение справедливо не только в силу использования фотодиодов, фотоумножителей и т. п., но и благодаря таким обыденным приборам как фотографическая пластинка и глаз. Все они функционируют, используя абсорбцию фотона. Хотя мы будем рассматривать вопросы фотоэлектрического детектирования более тщательно и подробно в гл. 14, уже сейчас можно получить выражения для вероятности детектирования путем простого эвристического доказательства, которое впервые было приведено Глаубером (Glauber, 1963а).

Мы уже встречались с оператором поглощения фотона определенным в конфигурационном пространстве и задаваемым выражением (11.12.2), и сопряженным ему оператором рождения

Эти операторы, соответственно, являются положительно-частотной и отрицательно-частотной частями соответствующих эрмитовых векторов поля. В разд. 12.11 будет показано, что состояние при в (12.2.2)] есть состояние, при котором фотон приблизительно локализован в пространственно-временной точке Таким образом, оператор описывает рождение фотона в окрестности из вакуума. Аналогично соответствует поглощению фотона в окрестности

Предположим теперь, что имеется детектор, расположенный в точке оптического поля, и что он регистрирует поглощение посредством эмиссии фотоэлектрона в момент времени Мы называем этот процесс поглощением фотона и задаемся вопросом о его вероятности. Конечно, на практике фотодетекторы — приборы с достаточно большими размерами, и вряд ли возможно локализовать их в точке. Но пока что предположим, что мы экранировали фотокатод узкоапертурной диафрагмой. Более того, предполагаем далее, что перед диафрагмой помещен поляризатор так, что детектор реагирует на свет только одной поляризации, скажем типа В таком случае, оператор, соответствующий детектированию фотона с поляризацией в точке будет иметь вид

Пока мы специально оставляем множитель равно как и природу соответствующего вектора поля неопределенным. Если взаимодействие электронов детектора с полем можно определить как взаимодействие вида (см. разд. 14.1), то будет положительно-частотной частью оператора векторного потенциала А и т.д. Следует отметить особый случай, когда базисные векторы соответствуют ортогональным линейным поляризациям и лежат вдоль двух координатных осей, тогда может соответствовать одной из декартовых компонент

Обсудим фотоэлектрическое детектирование оптического поля в рамках квантово-механической картины взаимодействия. Если электромагнитное поле первоначально находится в некотором квантовом состоянии и впоследствии, после детектирования, в квантовом состоянии то амплитуда вероятности данного процесса (Glauber, 1963а), при котором фотон детектируется в гесть матричный элемент а вероятность перехода пропорциональна Если нас не интересует конечное состояние, а мы хотим знать вероятность фотодетектирования безотносительно к конечному состоянию поля, то следует просуммировать эту вероятность по всему набору конечных состояний а именно,

В более общем случае, если начальное состояние не является чистым состоянием а представляет некоторый ансамбль состояний, определяемый оператором плотности таким, что

где вероятность, относящаяся к состоянию то мы должны усреднить вышеприведенное выражение по ансамблю всех с весом Тогда

где некоторая константа, характеризующая детектор. Для малого интервала времени в течение которого скорость детектирования заметно не изменяется, можно написать дифференциальное соотношение для вероятности

Вероятность фотодетектирования при поляризации за

считая, что достаточно мало, чтобы правая часть в (12.2.6) была много меньше единицы. Нижний индекс 1 в указывает на то, что мы рассматриваем единичный акт фотодетектирования. Если теперь квадрат в (12.2.6) представить в виде

где также предполагается суммирование по повторяющимся декартовым индексам, то будет видно, что в правой части содержится сумма по полному набору операторов проектирования на конечные состояния По определению эта сумма есть единичный оператор, и выражение сводится к

Таким образом, вероятность детектирования пропорциональна ожидаемому значению нормально упорядоченного скалярного произведения на Нормальное упорядочение возникает здесь естественным образом как следствие того факта, что в основе процесса детектирования лежит поглощение, характеризуемое оператором поглощения

Как и при классическом рассмотрении детектирования, представляется удобным ввести понятие интенсивности поля, которое определяется как скалярное произведение

Определенный таким образом оператор конечно же, представляет интенсивность, связанную с компонентой поляризации вектора поля По аналогии, можно определить оператор полной интенсивности через суммарный оператор записывая

Отметим также, что существует целый набор различных интенсивностей, каждая из которых относится к своему вектору поля в соответствии с нашим выбором в (12.2.1). Как и в классическом случае, часто бывает удобно не уточнять действительный выбор, чтобы иметь возможность работать с различными ситуациями. Благодаря введению оператора интенсивности можно переписать (12.7.2) в более компактной форме

Это выражение следует из оптической теоремы эквивалентности, при где правые и левые собственные значения операторов соответственно. Когда поляризатор удален и детектор может свободно реагировать на любой тип поляризации, мы получаем вероятность детектирования исходя из аналогичных рассуждений, где только используется суммарный оператор поглощения и получаем

где необязательно является той же самой константой, что и в (12.2.10).

Схожесть этого результата с (9.6.1), полученным в полуклассическом приближении, сразу заметна. Конечно, не следует забывать, что решение было получено исходя из простых эвристических рассуждений, но в разд. 14.5 мы увидим, что идентичное выражение может быть получено, когда взаимодействие квантованного поля с детектором рассматривается точно. Приведенные простые рассуждения не дают информации о величине константы в формулах (12.2.10) и (12.2.11), хотя нетрудно догадаться, что она зависит от геометрии детектора. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 12.3.