17.4. Источники квантового шума и квантовые уравнения Ланжевена

17.4.1. Введение

Гейзенберговские уравнения движения для некоторых динамических переменных квантовой системы часто очень похожи на уравнения движения для соответствующих классических систем. Очевидный пример — уравнения Максвелла для свободного электромагнитного поля, которые одинаковы для классического и квантового поля (см. гл. 10). Однако как только появляются затухание или потери, квантово-механическая ситуация становится более сложной, ибо средняя энергия полностью квантованной системы

должна сохраняться в пределе больших времен. Практически, задача решается путем введения большого числа резервуаров, назначение которых состоит в поглощении энергии без заметного их возмущения. Но результатом взаимодействия резервуаров с исходной исследуемой квантовой системой являются не только потери, но и флуктуации, связь которых описывается флуктуационно-диссипационной теоремой. Рассмотрим теперь уравнения движения, которые определяют поведение квантовой системы в этих условиях (Senitzky, 1960, 1961; Weidlich and Haake, 1965a, b; Lax, 1966, 1967; Haken, 1970; Louisell, 1973, разд. 6.6).

Начнем с примера из классической физики. Пусть есть комплексная амплитуда классического гармонического осциллятора частоты В отсутствии затухания подчиняется уравнению движения

Если осциллятор затухает с некоторой скоростью к, то в правой части необходимо добавить слагаемое так что уравнение принимает вид

и является приемлемым в классической физике. Однако, строго говоря, механизм, ответственный за затухание, будет также возмущать колебательное движение микроскопически, что можно моделировать, вводя силы Ланжевена Тогда, уравнение (17.4.2) необходимо заменить следующим

Случайная сила обычно берется с нулевым средним значением и может как быть, так и не быть строго -коррелированной во времени. Однако время памяти всегда мало, так что в общем случае не коррелирует с амплитудой осциллятора в более ранние моменты времени поэтому

Если мы обратимся к квантово-механическому осциллятору, то обнаружим, что незатухающий осциллятор подчиняется точно такому же уравнению движения, как и (17.4.1), но заменяется оператором гильбертового пространства. С другой стороны, затухающий квантовый осциллятор не может описываться уравнением типа (17.4.2), поскольку его решение не может во все моменты времени удовлетворять коммутационным соотношениям. Однако уравнение (17.4.3) справедливо также и для квантового затухающего осциллятора при условии, что как и является оператором гильбертова пространства. Это поясняется приведенным ниже рассуждением.