18.6.1. Развитие лазерного поля из вакуумного состояния

В качестве примера рассмотрим решение для случая, когда лазерное поле развивается из вакуумного состояния. Если амплитуда поля равна нулю в начальный момент времени то коэффициенты задаются выражением

Отношение в правой части можно рассматривать как предел поскольку обращается в нуль при Тогда решение принимает вид

Полагая и используя соотношение полноты для собственных функций, сразу получаем

что соответствует начальному вакуумному состоянию. Поскольку функция задаваемая выражением (18.6.24), удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка (18.6.1) и подходящему граничному условию, она и есть искомое решение. Стоит отметить, что все фазы в интервале от до одинаково вероятны в момент времени точно так же, как и в момент Используя можно сразу получить плотность вероятности интенсивности света в момент времени

Изменение распределения вероятностей, предсказываемое выражением (18.6.25), рассчитывается численно и результаты расчета показаны на рис. 18.22 для случая В начальный момент плотность вероятности имеет вид дельта-функции в точке затем принимает экспоненциальную форму, как для теплового излучения, далее у нее развивается максимум, и, в конце концов, в стационарном

состоянии, она приобретает вид гауссовской функции [ср. (18.3.17)]. Данное решение конечно, можно использовать для вычисления моментов интенсивности света как функций времени с помощью соотношения

Результаты вычисления показаны сплошными кривыми на рис. 18.23 для трех различных значений параметра накачки. Стоит отметить, что начальное развитие во времени не зависит от параметра накачки а, тогда как стационарные значения сильно зависят от а. Сплошные кривые на рис. 18.24 иллюстрируют временное развитие нормированных относительных флуктуаций интенсивности для тех же трех параметров накачки. Мы видим, что относительные флуктуации интенсивности первоначально равны единице, как для света от теплового источника. Однако со временем, по мере развития особенностей лазерного поля относительные флуктуации интенсивности падают и, в конце концов, становятся очень малыми при больших значениях параметра накачки.

В действительности, для коротких времен можно получить намного более простое решение сразу из уравнения Фоккера — Планка. В случае, когда начальное состояние представляет собой вакуумное состояние или состояние поля с нулевой амплитудой, поле остается слабым в течение короткого промежутка времени и можно отбросить нелинейный член в уравнении Фоккера — Планка (18.6.1).

Рис. 18.22. Развитие во времени распределения вероятностей задаваемого выражением (18.6.25), при значении параметра накачки Различные кривые соответствуют различным моментам времени пробегающим значения от до где (Из работы Risken, 1970)

Рис. 18.23. Зависимость средней интенсивности от времени для трех различных значений параметра накачки а. Сплошные кривые построены с помощью формулы (18.6.25). Экспериментальные точки получены в результате измерений числа фотоотсчетов. Рисунок является увеличенным фрагментом рисунка а в области начала системы координат. (Из работы Meltzer and Mandel, 1970)

Тогда уравнение упрощается настолько, что допускает прямое интегрирование, и нетрудно убедиться, что зависящая от времени плотность вероятности

удовлетворяет упрощенному уравнению Фоккера — Планка. Эта же должна быть решением нелинейного уравнения (18.6.1) для малых значений когда интенсивность света еще не сильно возросла.

Рис. 18.24. Зависимость относительных флуктуаций интенсивности от времени для трех различных значений параметра накачки а. Сплошные кривые построены с помощью формул (18.6.25) и (18.6.26). Экспериментальные точки получены в результате измерений числа фотоотсчетов. (Из работы Meltzer and Mandel, 1970)

Данная экспоненциальная форма распределения вероятности характерна для теплового излучения (ср. разд. 13.2), и средняя интенсивность равна

для малых Начальный рост таким образом, не зависит от значения параметра накачки а, как показано на рис. 18.23.