4.5. Специальные типы полей

4.5.1. Взаимно спектрально чистый свет

В разд. 4.3.2 мы рассматривали ситуацию, когда свет с одинаковым спектральным распределением распространяется в виде двух пучков от отверстий и Если проанализировать свет, являющийся результатом суперпозиции этих пучков на экране 38, удаленном от плоскости, в которой расположены отверстия, то обнаружится, что его спектральный состав в различных точках экрана, вообще говоря, неодинаков. Мы покажем, что при определенных условиях, которые часто встречаются на практике, спектральный состав света, являющегося результатом суперпозиции, относительно просто связан со спектральным составом интерферирующих пучков.

Согласно закону спектральной интерференции спектральная плотность света в точке связана со спектральными плотностями и света, достигающего точки от отверстий соответственно, формулой

где спектральная степень когерентности света в отверстиях

— разность времен, за которые свет распространяется от точки до и соответственно (см. рис. 4.6). Предположим, что спектральные распределения света в двух отверстиях одинаковы, т.е.

где коэффициент пропорциональности, не зависящий от частоты. Спектральные плотности света, достигающего точки в плоскости наблюдения от двух отверстий согласно (4.3.53) определяются выражениями

Подставляя (4.5.4) в (4.5.1), получим следующее выражение для

Теперь предположим, что на экране существует точка, скажем, в которой спектральная плотность света равна спектральной плотности света в отверстиях с точностью до коэффициента пропорциональности, не зависящего от частоты. Пусть соответствующее значение параметра равно то, т.е.

Очевидно, что в этом случае в выражении (4.5.5) член в фигурных скобках, в котором заменено на то, не должен зависеть от частоты. Учтем, что множители обратно пропорциональны длине волны, т.е. прямо пропорциональны частоте. Однако, если предположить, что спектр света в каждом отверстии не очень широк, то этой частотной зависимостью можно пренебречь. Последний член в правой части (4.5.5), (где заменено на ), не будет зависеть от частоты при условии, что

где есть некоторая функция только от и то.

Если существует окрестность точки в плоскости наблюдения , такая, что спектральное распределение света в этой окрестности имеет тот же вид, что и спектральное распределение света в отверстиях,

то говорят, что свет в отверстиях взаимно спектрально чист. Это, очевидно, будет иметь место, если выполняется условие (4.5.7). Положение точки таким образом, определяется временем задержки то, определенном в (4.5.6).

Покажем, что взаимно спектрально чистый свет имеет ряд интересных свойств. Согласно (4.3.40а) и (4.3.476) функцию взаимной когерентности можно представить в виде

Подставляя (4.5.3) и (4.5.7) в (4.5.8), получим следующее выражение для

Далее согласно (4.3.40а) и (4.3.41) интеграл в правой части (4.5.9) есть . Следовательно, (4.5.1) можно записать как

Полученное выражение позволяет нам определить физический смысл функции формально введенной в (4.5.7). Для начала отметим, что согласно формуле (4.5.3) из (4.3.40а) имеем следовательно,

Поделив обе части (4.5.10) на это выражение и воспользовавшись определением комплексной степени когерентности 7, получим соотношение

Теперь, полагая то и учитывая, что мы в итоге получим

Таким образом, функция фактически представляет собой комплексную степень когерентности световых колебаний в двух отверстиях при времени задержки, равном то. При этом наше условие взаимной спектральной чистоты света (4.5.7) принимает вид

Строго говоря, это соотношение должно выполняться для спектральных компонент всех частот присутствующих в спектре света в точках Тем не менее, для хорошего приближения достаточно потребовать, чтобы оно выполнялось только для тех частотных компонент, которые вносят существенный вклад в среднюю интенсивность света в этих точках.

С физической точки зрения, условие (4.5.14) означает, что если свет в точках взаимно спектрально чист, то абсолютное значение спектральной степени когерентности одинаково для всех частот присутствующих в спектре света в этих точках, и равно абсолютному значению комплексной степени когерентности кроме того, фазы и 7 отличаются друг от друга на Безусловно, для того, чтобы свет в точках был взаимно спектрально чист, он должен удовлетворять, наряду с (4.5.14), условию (4.5.3), т.е. спектр света в точках должен быть одинаков (с точностью до некоторого коэффициента пропорциональности, не зависящего от частоты).

Условие (4.5.14) имеет прямое следствие, касающееся формы спектрального распределения света в любой точке плоскости наблюдения. Подставляя (4.5.14) в выражение для спектральной плотности (4.5.5), находим, что для взаимно спектрально чистого света

где расстояние от отверстий и до и

Из (4.5.15) видно, что в плоскости наблюдения спектральная плотность на фиксированной частоте изменяется по синусоидальному закону между значениями

По аналогии с выражением (4.3.23) для видности интерференционных полос мы можем определить спектральную видность на частоте в точке интерференционной картины по формуле

Подставляя (4.5.17) в (4.5.18), находим, что

Так как и пропорциональны частоте, отношение исходя из (4.5.16), от частоты не зависит. Следовательно, спектральная видность интерференционных полос, формируемых двумя взаимно спектрально чистыми пучками, не зависит от частоты. Более того, поскольку а следовательно и довольно слабо зависят от положения точки спектральная видность (при фиксированных фактически остается постоянной на некотором участке плоек

Синусоидальное изменение спектральной плотности вдоль интерференционной картины, задаваемое выражением (4.5.15), при условии, что спектральная видность не зависит от частоты, отражает закон спектральной модуляции для взаимно спектрально чистых пучков.

Мы неоднократно отмечали, что свойства временной и пространственной когерентности света, вообще говоря, не являются взаимонезависимыми. Однако взаимно спектрально чистый свет в этом отношении представляет собой исключение. Подставляя (4.5.13) в (4.5.12), получим

Мы видим, что комплексная степень когерентности может быть представлена как произведение двух сомножителей: первый сомножитель характеризует пространственную когерентность в двух отверстиях при времени задержки то, а второй — временную когерентность в одном из отверстий. Формула (4.5.20) обычно называется редукционной формулой для взаимно спектрально чистого света. Ее можно также записать в эквивалентном виде

который получается непосредственно из (4.5.20). Для этого необходимо умножить обе части (4.5.20) на и воспользоваться определением комплексной степени когерентности (4.3.12а).

Можно показать, что справедливо и обратное: если редукционная формула (4.5.20) выполняется для некоторого значения то, и спектральные плотности света в точках равны друг другу с точностью до коэффициента пропорциональности, не зависящего от частоты, то свет в этих двух точках взаимно спектрально чист.

Взаимно спектрально чистый свет может быть получен, например, при линейной фильтрации света, идущего от двух отверстий в интерференционном эксперименте Юнга (см., например, Kandpal, Saxena, Mehta, Vaishya and Joshi, 1993). В разд. 4.3.2 мы показали, что если полосы пропускания фильтров достаточно узкие, то степень когерентности фильтрованного света определяется выражением (4.3.63), а именно, где средняя частота фильтров. Это соотношение, очевидно, согласуется с условием (4.5.14) для взаимно спектрально чистого света. Другие примеры такого света приведены Манделем (Mandel, 1961b).