12.6. Степень и порядок когерентности

При обсуждении в разд. 4.3 и 12.4 интерференции двух световых лучей мы естественным образом пришли к нормированной корреляционной функции второго порядка

при условии, что и не обращаются в нуль. Величина обеспечивает естественную меру степени когерентности определенных декартовых компонент в пространственно-временных точках х и у, которая, в контексте корреляциий второго порядка, просто связана к видностью сформированных интерференционных полос. В силу неравенства автоматически является нормированной так, что

Более того, как мы уже обнаружили при классическом рассмотрении когерентности в разд. 4.5 и как будет показано в разд. 12.7, условие означает возможность представления Г11х,у) в виде произведения и поэтому оно согласуется с интуитивным понятием о том, что подразумевается под когерентностью.

Было сделано несколько попыток ввести нормированные корреляционные функции высшего порядка и, опосредованным образом, определить степень когерентности произвольного порядка Когда нормированная функция является унимодулярной, это означает, что поле обладает степенью когерентности «единица» для порядка Но ни одна из этих нормированных корреляционных функций не содержит такой важной интерпретации, которую содержит корреляционная функция второго порядка. Рассмотрим некоторые из этих функций.

Для корреляционных функций четного порядка типа Глаубер (Glauber, 1963а) расширил определение Он ввел нормированную величину

Откладывая пока в сторону математическую значимость данной величины, мы видим, что, если бы равнялась единице при то представлялась бы в виде

произведения Но является нормально упорядоченной корреляционной функцией интенсивности, которая пропорциональна совместной вероятности фотодетектирования в пространственно-временных точках [ср. (12.2.14)]. Поэтому представление в виде произведения означает, что совместная вероятность -кратного детектирования сводится к произведению отдельных вероятностей детектирования и, таким образом, события фотодетектирования являются независимыми. Условие другими словами, гарантирует, что не существует никаких фотоэлектрических корреляций интенсивностей порядка пространственно-временных точках.

Представляется заманчивым попытаться интерпретировать по аналогии с как степень когерентности порядка Тогда про поле можно было бы сказать, что оно когерентно до порядка если равно единице для всех в том смысле, что не существует никаких корреляций интенсивности до порядка. Когерентность при любом порядке тогда автоматически означала бы когерентность при любом меньшем порядке для К сожалению, в общем случае не удовлетворяет неравенству типа (12.6.2), за исключением случая, когда таким образом, интерпретация в качестве степени когерентности порядка не имеет основания. Более того, условие в общем случае, не означает, что корреляционная функция может быть представлена в виде произведения комплексных сомножителей, как это имеет место при равно, как в общем случае, не равна единице. Тем не менее, мы можем считать, что представление в виде следующего произведения

является условием когерентности до порядка и это автоматически подразумевает, что

В разд. 13.3 будет показано (соответствующий классический результат также может быть получен — см. разд. 8.4), что для поляризованного света от всех тепловых источников имеем

так, что

На основе этого определения когерентности порядка следует, что никакое поле теплового излучения не может быть когерентным выше второго порядка.

Другая попытка введения нормированной корреляционной функции произвольного порядка которая удовлетворяла бы тому же неравентству, что и была предпринята Метой (Mehta, 1966, 1967). Он определил

при условии, что корреляционные функции в знаменателе отличны от нуля. Очевидно, что эта функция удовлетворяет соотношению

Более того, можно показать, что при функция может быть представлена в виде произведения вида (12.6.4) так, что условие действительно, представляется в интуитивно приемлемом смысле условием когерентности порядка Доказательство возможности представления в виде произведения, в основе которого лежат рассуждения Титулайра и Глаубера (Titulaer and Glauber, 1965), приводится в разд. 12.7. Для полей, у которых весовой функционал в диагональном представлении по когерентным состояниям является неотрицательным и ведет себя как классическая плотность вероятности, также можно показать, что

так что можно, в определенном смысле, интерпретировать как степень когерентности порядка

К сожалению, это неравенство не удовлетворяется в общем случае квантованного поля, когда, по-видимому, не существует верхней границы для Более того, когерентность при любом четном порядке автоматически подразумевает когерентность во всех высших четных порядках в том случае, когда нет ограничения на число фотонов и во всех высших четных порядках до при когда имеется фотонов (в таком случае обращается в нуль и не определена при При таком определении когерентности высших порядков, когерентность второго порядка является наиболее сильной формой когерентности, которая имеет значение для когерентности высших порядков, а не наоборот. Как мы покажем в следующем разделе, когерентность второго порядка действительно имеет важное значение для корреляционных функций высшего порядка.

Еще одна нормированная корреляционная функция рассматривалась Сударшаном (Sudarshan, 1969; см. также Klauder and Sudarshan, 1968, гл. 8, выражение (8-84), который ввел

при условии, что корреляционные функции, входящие в знаменатель, не обращаются в нуль. Эти функции удовлетворяют условию

и неравенству

для всех полей. Кроме того, они демонстрируют свойство состоящее в том, что означает, что для всех при условии, что число фотонов не ограничено.

Однако, конечно, условие делает интерпретации в целом, различными.

Следует сказать, что хотя, без всякого сомнения, корреляционные функции высших порядков являются важными для полного описания электромагнитного поля и его когерентных свойств, полезность введения понятия когерентности высшего порядка и степени когерентности высшего порядка можно оспорить. Общепризнано, что когерентное состояние поля когерентно во всех порядках и нормированные корреляционные функции являются унимодулярными практически при всех определениях. Однако не известно никаких примеров полей, которые были бы когерентными только для каких-то некоторых порядков (за исключением второго), а не для других. Вызывает сомнение, что такие поля когда-нибудь могут быть встречены на практике, и что они вообще существуют. Вполне может быть, что представление о когерентности второго порядка, которое было отправной точкой при развитии теории когерентности, является, в конечном счете, единственно реально значимым представлением.