18.2. Полуклассическая теория лазера

В теории Лэмба (Lamb, 1964) лазерное поле вводится самосогласованным образом и получается уравнение движения для амплитуды поля. Его рассуждения можно резюмировать следующим образом:

(а) Предполагается, что атомы с энергетическим интервалом между двумя рабочими уровнями помещаются в оптический резонатор, который настроен на резонансную частоту близкую к и создана инверсия населенностей этих двух уровней;

(б) В резонаторе имеется классическое лазерное поле частоты или близкой к

(в) Поле действует на каждый атом и индуцирует дипольный момент согласно квантово-механическим уравнениям движения;

(г) Сумма всех элементарных атомных дипольных моментов составляет макроскопическую поляризацию активной среды;

(д) Поляризация действует как «источник» в уравнениях Максвелла для электромагнитного поля и приводит к возникновению лазерного поля

(е) Поле приравнивается к полю, которое вводилось на этапе (б).

Для реалистического описания работы лазера необходимо учесть естественную атомную форму линии и любое движение атомов, которое приводит к неоднородному уширению. Хотя это и выявляет некоторые интересные свойства лазера, такие как лэмбовский провал в спектре (Lamb, 1964), но это усложняет вычисления и в какой-то мере затрудняет понимание основного механизма работы лазера. Поэтому мы отбросим эти усложнения и сконцентрируемся на сущности лазерного процесса, считая атомы одинаковыми, в высшей степени резонансными, двухуровневыми квантовыми системами. В полу классической теории потери электромагнитного поля в резонаторе, легче всего моделируются введением некоторой проводящей среды, которая, естественно, вызывает затухание поля в резонаторе с течением времени. Если а есть удельная проводимость этой искусственной среды, то плотность тока в резонаторе можно заменить величиной и уравнения Максвелла для поля принимают, в системе вид

где

Взяв ротор обеих частей третьего уравнения и воспользовавшись четвертым уравнением для исключения В, придем к следующему уравнению движения для лазерного поля

Здесь обычно делаются некоторые упрощения. Предположим, прежде всего, что поле поляризовано, как это, обычно, имеет место на практике, и что как так и можно рассматривать как скаляры. Более того, основное пространственное изменение будет иметь место в направлении оси лазера, принимаемую нами за ось z, так что приблизительно равно Тогда уравнение (18.2.2) принимает вид

Теперь, разложим по нормальным модам оптического резонатора и воспользуемся приближением медленно меняющихся амплитуд.