15.2. Блоховское представление

Произвольное состояние двухуровневого атома можно всегда записать в виде линейной комбинации

где В более общем случае, когда состояние не обязательно является чистым, а должно описываться статистически, его можно представить атомным оператором плотности

где есть среднее по ансамблю

Следовательно, рпредставляется через двумерную эрмитовую ковариантную матрицу. Однако существует простое геометрическое представление состояния атома с помощью действительного трехмерного вектора с составляющими Оно называется блоховским представлением состояния атома (Bloch, 1946) и является аналогом представления состояния поляризации светового пучка с помощью вектора Стокса (см. гл. 6). Соответствие между представлениями через матрицу плотности и через вектор Блоха отражает хорошо известное свойство симметрии, часто встречаемое в физике, а именно, соответствие

между специальной унитарной группой и действительной ортогональной группой Составляющие блоховского вектора представляющего состояние в картине Шредингера, определяются выражениями

Эти три составляющие иногда дополняются четвертой, задаваемой в виде

Чистое невозбужденное состояние имеет единичный блоховский вектор указывающий точно вниз, тогда как чистое возбужденное состояние имеет единичный блоховский вектор (0,0,1), указывающий точно вверх. Промежуточные состояния имеют блоховские векторы, указывающие в различных направлениях, и любое состояние, которое является равной смесью верхнего и нижнего состояний имеет горизонтальный блоховский вектор (см. рис. 15.2).

В общем случае нетрудно показать, что для любого смешанного или нечистого состояния длина блоховского вектора меньше единицы. Из (15.2.3) следует, что

Рис. 15.2. Представление состояния двухуровневого атома вектором Блоха. Длина вектора может изменяться от нуля до единицы, но всегда равна единице для чистого квантового состоянии

Согласно неравенству Шварца имеем

где знак равенства имеет место только в том случае, когда ансамбль вырождается в единственную реализацию, т.е. в случае чистого состояния. Следовательно,

где равенство справедливо только для чистого состояния. Смесь верхнего и нижнего состояний со случайными фазами и равными весами соответствует нулевому вектору Блоха.

Мы уже видели, что расширенное множество спиновых операторов образует полное множество для представления произвольного оператора, действующего в двумерном гильбертовом пространстве атомных состояний. Из (15.1.10) следует, что оператор плотности рможно представить в виде

где не зависящие от времени спиновые операторы, и зависимость от времени оператора ропределяется коэффициентами Сравнивая матричные элементы из обеих частей данного выражения и используя (15.2.3) и (15.2.4), легко находим, что так что

Таким образом, составляющие вектора Блоха являются коэффициентами в разложении оператора плотности в картине Шредингера по спиновым операторам.

Иногда блоховский вектор удобнее описывать сферическими координатами а не прямоугольными Из (15.2.5) имеем

Кроме того, из (15.2.3) и (15.2.4) следует, что

откуда

В частном случае чистого квантового состояния и соотношения упрощаются. Тогда согласно (15.2.1), можно представить произвольное чистое атомное состояние в момент времени следующим образом:

с точностью до фазового множителя.

В картине Шредингера верхнее и нижнее состояния эволюционируют во времени посредством фазовых множителей соответственно. Вставляя эти множители в (15.2.12), получаем для состояния в момент следующий результат

опять с точностью до фазового множителя. Следовательно, азимутальный угол линейно увеличивается со временем, а блоховский вектор в картинах Шредингера непрерывно вращается вокруг оси с угловой скоростью