5.6.4. Гауссовские лучи модели Шелла

Применим некоторые общие результаты, которые мы только что получили при изучении свойств лучей, создаваемых плоскими, вторичными, гауссовскими источниками модели Шелла. Такие источники имеют взаимные спектральные плотности вида (5.4.7), а именно,

где

представляющие собой взаимную спектральную плотность и спектральную степень когерентности света на плоскости источника, положительные величины. В разд. 5.4.2 мы показали, что при

соответствующем выборе величин такие источники могут генерировать поле, интенсивность излучения которого имеет отличные от нуля значения в пределах конуса узкого телесного угла, другими словами, могут генерировать луч. Такие лучи называются гауссовскими лучами модели Шелла. Подставляя (5.6.63) и (5.6.64) в (5.6.62), получим для W выражение

где (без указания явной зависимости от частоты

Так как W имеет вращательную симметрию относительно начала координат на плоскости источника то ясно, что взаимная спектральная плотность поля в полупространстве в которое по предположению излучает источник, будет иметь вращательную симметрию относительно оси z. Следовательно, удобно определить местоположение каждой точки в полупространстве с помощью переменных где двумерный поперечный вектор с компонентами . Взаимная спектральная плотность тогда будет функцией переменных следовательно, мы будем писать Мы будем обозначать четырехмерный фурье-образ (5.6.50) функции взаимной спектральной плотности поля на плоскости источника как а не в виде где и двумерные пространственно-частотные векторы. В этих обозначениях выражение (5.6.60) для взаимной спектральной плотности поля, в соответствующем приближении для луча, принимает форму

где согласно (5.6.50)

Интегрирование в правой части (5.6.67) выполняется по всей плоскости переменных и соответственно, а в (5.6.68) интегрирование выполняется независимо дважды по плоскости источника

При подстановке (5.6.65) в (5.6.68) мы получим следующее выражение для четырехмерного фурье-образа взаимной спектральной плотности распределения поля в плоскости гауссовского источника модели Шелла:

Этот четырехмерный фурье-образ можно вычислить с помощью формулы (5.6.16). В результате, после громоздких, но простых вычислений, мы имеем

где

До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на параметры, которые бы обеспечивали генерацию луча гауссовским источником модели Шелла. При подстановке (5.6.70) с в общее условие для луча (5.6.57) мы получим требуемое условие. Тогда находим, что для генерации луча гауссовским источником модели Шелла мы должны иметь

Экспоненциальный член в (5.6.72) равен единице, когда и уменьшается в раз при Таким образом, экспоненциальный член будет давать вклад только когда Следовательно, требование (5.6.72) будет выполняться, если

Если подставить (5.6.71) для и вспомнить определения (5.6.66) параметров а также использовать соотношение где длина волны, то мы получим следующее необходимое и достаточное условие для генерации луча от плоского, вторичного, гауссовского источника модели Шелла:

Рассмотрим два предельных случая:

(а) Когда источник является пространственно когерентным, и условие для луча (5.6.73) теперь означает, что

Следовательно, грубо говоря, эффективные линейные размеры источника должны быть больше длины волны.

(б) Когда источник является квазиоднородным (в глобальном смысле, пространственно некогерентным — разд. 5.3.2), и условие для луча означает, что

Следовательно, длина корреляции света в плоскости источника должна быть больше длины волны, т.е. для генерации луча квазиоднородный источник должен быть локально когерентным.

Вернемся теперь к более общему случаю. Предполагая, что условие для луча (5.6.73) выполняется, мы получим, при подстановке (5.6.70) в (5.6.67), следующее интегральное представление взаимной спектральной плотности луча, генерируемого гауссовским источником модели Шелла:

где

Четырехкратное преобразование Фурье в правой части (5.6.76) можно снова вычислить при помощи формулы (5.6.16), и тогда мы получим следующее выражение для взаимной спектральной плотности:

Здесь константы и 72 определяются уравнениями (5.6.71) и (5.6.77), в которых константы связаны с параметрами источника уравнением (5.6.66).

Теперь мы обсудим некоторые детали формулы (5.6.78). В частности, мы изучим корреляции в двух точках в поперечном сечении луча, а также распределение спектральной плотности по всему лучу.

Положим в (5.6.78) и используем аббревиатуру для Тогда формула (5.6.78) принимает вид

где

и — комплексно-сопряженная величина . После некоторых манипуляций выражению (5.6.79) можно придать более приемлемую, с физической точки зрения, форму. Мы рассмотрим только основные этапы вычислений.

Из определения (5.6.66) следует, что

где

Заметим, что параметр представляет собой ту же самую величину, которая входит в условие для луча (5.6.73); мы сталкивались с этим раньше [см. (5.4.14)] в связи с теоремой эквивалентности для интенсивности излучения.

Из уравнений (5.6.80), (5.6.71) и (5.6.81) мы получаем

где

По причинам, которые скоро станут очевидными, величину иногда называют коэффициентом расширения луча. Отметим, что Из выражений (5.6.80), (5.6.81) и (5.6.83) мы сразу находим, что

Также используя формулы (5.6.71) и (5.6.80) для и выражение (5.6.83), находим, что

Выражение в правой части (5.6.86) можно выразить в более простой форме. Рассмотрим сначала его действительную часть. Если подставить выражение (5.6.66) для параметров и использовать (5.6.81), то после громоздких вычислений мы находим

Далее рассмотрим мнимую часть выражения в правой части (5.6.86). Если вспомнить определение для то мы легко найдем

где

Добавляя уравнения (5.6.87) и (5.6.88) и используя (5.6.86), для экспоненты в последнем множителе в правой части (5.6.79) мы получим следующее выражение:

Наконец, при подстановке уравнений (5.6.85) и (5.6.90) в (5.6.79), мы получим следующее выражение, ранее полученное Фрайбергом и Судолом (Friberg and Sudol, 1982; см. также Friberg and Sudol, 1983), для взаимной спектральной плотности в любом поперечном сечении луча, создаваемого плоским, вторичным, гауссовским источником модели Шелла:

В качестве частичной проверки уравнения (5.6.91) рассмотрим его предельную форму при Из уравнений (5.6.84) и (5.6.89) мы видим, что следовательно,

Если вспомнить определение (5.6.82) параметра то мы легко проверим, что уравнение (5.6.92) согласуется с предполагаемым выражением (5.6.65) для взаимной спектральной плотности на плоскости источника

Мы видим, что представляет собой произведение трех членов, а именно, постоянного множителя и двух гауссовских распределений, первое из которых является функцией суммы второе — их разности. Сравнивая (5.6.91) и (5.6.92), мы видим, что, когда свет распространяется от плоскости источника к любой поперечной плоскости взаимная спектральная плотность сохраняет тот же вид, за исключением того, что приобретает фазовый множитель Первый множитель сводится к Второй и третий множители опять представляют собой гауссовские распределения суммы и разности поперечных переменных, но их эффективные ширины увеличиваются с ростом заменяется на на По этой причине мы называем коэффициентом расширения луча. На рис. 5.21 показано поведение для некоторых значений параметра [см. (5.5.11)], который характеризует степень глобальной когерентности.

Далее мы рассмотрим предельную форму формулы (5.6.91) для случая, когда гауссовский источник модели Шелла является полностью пространственно когерентным, т.е. когда его спектральная степень когерентности В этом случае, как мы видим из (5.6.64), и параметр (5.6.82) имеет значение (где нижний индекс с означает когерентный предел)

выражения (5.6.84) и (5.6.89) принимают вид

Формула (5.6.91) для взаимной спектральной плотности принимает вид

Заметим, что эту формулу можно выразить в факторизованном виде

где

Рис. 5.21. а — Поведение коэффициента расширения величины для гауссовского луча модели Шелла, как функции нормированного расстояния от плоскости источника, для некоторых значений степени глобальной когерентности Значения соответствуют лучам, которые создаются пространственно когерентными и некогерентными источниками, соответственно

где некоторая функция Эту функцию можно было бы определить, если рассматривать когерентный предел взаимной спектральной плотности в точках в двух разных поперечных сечениях, а не в точках в одном и том же поперечном сечении, потому что когда в произведении исчезает экспоненциальный член Тот факт, что выражение (5.6.91) факторизуется, означает, что луч является пространственно полностью когерентным на частоте (см. разд. 4.5.3) в любом поперечном сечении что и следовало ожидать. Более того, можно легко проверить, выбирая соответствующим образом что выражение (5.6.97) согласуется (если не принимать во внимание обозначения) с более ранним выражением (5.6.35) для монохроматического гауссовского луча.

Теперь вернемся к более общему случаю для луча, создаваемого гауссовским источником модели Шелла для любого состояния когерентности. Если положить в (5.6.91), то мы получим следующее выражение для спектральной плотности (т.е. оптической интенсивности на частоте поля луча:

Мы видим, что в любом поперечном сечении луча, спектральная плотность на частоте имеет гауссовский профиль и значение на оси луча Если определить радиус луча в поперечном сечении как значение при котором спектральная плотность на частоте уменьшается в раз относительно своего значения на оси, то мы сразу видим из (5.6.98), что

Так как согласно то

и из формул (5.6.99), (5.6.100) и (5.6.84) следует, что радиус луча изменяется с расстоянием z в соответствии с «законом расширения луча»

где, если используется (5.6.82),

Из (5.6.101) мы видим, что при

так что представляет собой угловое расхождение луча

На рис. 5.22 показано увеличение радиуса луча при увеличении расстояния 2 от источника для некоторых значений параметров которые, согласно уравнениям (5.6.63) и (5.6.64) характеризуют эффективный размер источника и эффективную спектральную ширину когерентности источника. Рис. 5.22а показывает, для случая лучей с одинаковыми начальными радиусами, что лучи, которые являются более когерентными, т.е. для которых больше, являются, соответственно, более направленными. Рис. 5.22? демонстрирует, для случая лучей с одинаковой спектральной степенью когерентности, что лучи, которые имеют меньший исходный радиус, являются менее направленными. Рис. 5.23 показывает -зависимость радиусов лучей для четырех лучей, которые удовлетворяют условиям теоремы эквивалентности для интенсивности излучения (разд. 5.4.2). Мы видим, что при увеличении расстояния от источников, радиусы лучей стремятся к одному и тому же значению, несмотря на тот факт, что источники имеют разные эффективные размеры и разные спектральные ширины когерентности.

Рис. 5.22. а — Радиусы лучей, как функции расстояния z, для гауссовских лучей модели Шелла с одинаковыми начальными радиусами см), но с разной степенью когерентности. Длина волны каждого луча выбиралась равной 6328 А; б - Радиусы лучей с одинаковой начальной спектральной степенью когерентности см), но с разными исходными радиусами. Длина волны была снова выбрана равной

Рис. 5.23. Радиусы для гауссовского луча модели Шелла как функции расстояния z от четырех источников, которые удовлетворяют условиям теоремы эквивалентности для интенсивности излучения (ср. разд. 5.4.2) и, следовательно, имеют одинаковое угловое расхождение Параметры для источников, генерирующие эти лучи, равны: . Длина волны каждого луча равна

В дополнение к угловому расхождению луча можно также определить полное угловое распределение для интенсивности излучения. Для этого мы используем уравнение (5.2.12) и тот факт, что когда поле является лучеобразным, можно заменить на z в пределе дальней зоны, т.е.

где направление следовательно, угол являются фиксированными. Теперь согласно (5.6.84)

и, если подставить (5.6.105) в (5.6.98), а затем подставить результирующее выражение в (5.6.84), находим

Это формула согласуется с «лучевым пределом» уравнения (5.4.16), которое мы получили раньше другим способом в связи с теоремой эквивалентности для интенсивности излучения от гауссовских источников модели Шелла.

Теперь рассмотрим спектральную степень когерентности луча. При подстановке (5.6.91) в (4.3.47) и использовании (5.6.82) находим, что спектральная степень когерентности луча в любом поперечном сечении

определяется выражением

Мы видим, что абсолютное значение определяется гауссовским распределением. Так как согласно увеличивается с ростом z, область когерентности света в поперечном сечении луча также возрастает при увеличении z. Если определить спектральную ширину когерентности луча как такое расстояние между точками в поперечном сечении, при котором спадает в раз относительно его максимального значения, равного единице (для то из (5.6.107) мы видим, что

Сравнивая это выражение для спектральной ширины когерентности с формулой (5.6.99) для радиуса луча, мы видим, что обе величины подчиняются одному и тому же «закону расширения», и

Эта формула означает, что отношение спектральной ширины когерентности света в любом поперечном сечении луча к его радиусу в этом сечении остается постоянным при его распространении, т.е. одним и тем же для всех сечений. Более того, это постоянное отношение представляет собой не что иное как степень глобальной когерентности источника [см. (5.5.11)]. В более общем случае отношение можно рассматривать как степень глобальной когерентности света на плоскости Таким образом, уравнение (5.6.109) означает, что степень глобальной когерентности света в любом поперечном сечении гауссовского луча модели Шелла является инвариантом при его распространении.

Если подставить в (5.6.108) выражение (5.6.84) для и использовать выражение (5.6.82), мы получим следующую явную формулу для зависимости спектральной ширины когерентности (на частоте от

где

Из (5.6.110) следует, что при

Следовательно, представляет собой половину угла конуса телесного угла с вершиной в начале координат, в пределах которого свет в любом поперечном сечении в дальней зоне является пространственно когерентным на частоте По этой причине иногда называют углом когерентности дальней зоны. Из (5.6.111) и (5.6.102) следует, что

а из

Эти формулы являются доказательством двух соотношений взаимности между гауссовским

Рис. 5.24. (см. скан) а — Экспериментальная установка для измерения углового распределения интенсивности излучения, создаваемого плоскими, вторичными, гауссовскими квазиоднородными источниками; б - Эффективный диаметр луча как функция расстояния z от источника. Сплошная линия на рис. была получена теоретически. Точки представляют результаты измерений (Farina, Narducci and Collett, 1980)

источником модели Шелла, который генерирует луч, и поведением луча в дальней зоне: Первое уравнение [см. (5.6.114)] показывает, что угловое расхождение луча обратно пропорционально спектральной ширине когерентности света на плоскости источника. Второе уравнение [см. (5.6.115)] показывает, что угол когерентности дальней зоны обратно пропорционален эффективному линейному размеру источника.

Если подставить выражения (5.6.111) и (5.6.100) в (5.6.114) и (5.6.115) для и и вспомнить, что соотношения взаимности можно выразить в виде

Заметим, что в особом случае, когда источник является когерентным в глобальном смысле формулы (5.6.116а) и (5.6.1166) принимают вид

Когда источник является некогерентным в глобальном смысле он представляет собой квазиоднородный источник, выражения (5.6.116а) и (5.6.1166) принимают вид

Некоторые из теоретических результатов, обсуждаемых в этом разделе, были проверены экспериментально Фариной, Нардуччи и Колеттом (Farina, Narducci and Collett, 1980). Вторичный гауссовский квазиоднородный источник был образован путем освещения соответствующего фазового экрана лучом от гелий-неонового лазера, который уширялся и коллимировался телескопической системой. Фазовый экран создавался при помощи распыления водяных капель на прозрачной стеклянной подложке. Водяная пыль образовывала равномерное шероховатое покрытие, толщина которого могла контролироваться изменением количества напыления. Напыленная пластинка была установлена на вращающийся вал синхронного мотора, который поворачивал пластинку без значительных колебаний. Когда вращающаяся пластинка освещалась лазером, свет непосредственно за пластинкой и параллельный к ней представлял собой вторичный источник с требуемыми свойствами. Этот источник генерировал луч, который мог распространяться на разные расстояния при помощи системы зеркал [см. рис. 5.24а. Измерения для луча были сделаны при помощи охлажденного фотоумножителя, закрепленного на подвижной платформе. Используя это устройство, были определены диаметры луча на разных расстояниях от вторичного источника. Было обнаружено, что результаты, которые изображены на рис. 5.245, находятся в хорошем согласии с теорией. Другие теоретические предсказания, относящиеся к лучам, создаваемым вторичными гауссовскими квазиоднородными источниками, были также проверены при помощи этой экспериментальной установки.