17.2.5. Спектральная плотность флуктуаций
Мы выразили полную дисперсию флуктуирующего тока 
через интеграл по всем частотам. Если переписать выражение (17.2.25) в виде
то станет ясно, что неотрицательная функция
представляет собой спектральную плотность флуктуаций тока. В силу линейности системы, которая отражена в уравнении (17.2.14) и согласно которой изменения тока и изменения возмущения V пропорциональны друг другу, флуктуации тока эквивалентны флуктуациям, создаваемым приложенным возмущением V с нулевым средним, спектральная плотность которых
Интеграл от 
по всем положительным частотам дает полную среднеквадратичную флуктуацию 
внешнего возмущения, которое приводило бы к флуктуации тока 
определяемой выражением (17.2.25).
Если сравнить результат (17.2.28) с формулой (17.2.21), то увидим, что они пропорциональны друг другу и содержат одинаковые интегралы. Поэтому можно соотнести 
и записать
Множитель в правой части можно переписать в виде
Полученное выражение можно рассматривать как среднюю энергию гармонического осциллятора в состоянии теплового равновесия при температуре 
Это также есть средняя энергия моды теплового равновесного излучения [ср. (13.1.8)], где 
есть среднее число заполнения моды и добавлен вклад энергии нулевых колебаний 
С помощью (17.2.30) можно переписать (17.2.29) в компактной форме
которая является обычной формулировкой флуктуационно-диссипационной теоремы. Используя соотношение между 
можно выразить ее в эквивалентном виде
Эта теорема устанавливает связь между тепловыми флуктуациями на частоте 
слева и диссипацией системы на частоте 
справа, а пропорциональность 
выявляет тесную связь между флуктуациями и диссипацией. Когда частота 
достаточно мала, или температура 
достаточно высока, так что 
можно аппроксимировать величину 
ее классическим пределом 
и записать
Данное соотношение, как было показано ранее, может быть получено классическим способом (Nyquist, 1928). В другом пределе 
имеем 
поэтому
Однако, при вычислении полной флуктуации 
когда требуется интегрирование 
по всем положительным частотам, необходимо использовать общее выражение (17.2.30) для 
желательно в спектральной плотности учитывать как положительные, так и отрицательные частоты, так чтобы
то переписываем (17.2.31) в виде
исходя из предположения, что 
Рассмотрим два примера, иллюстрирующие полезность флуктуационно-диссипационной теоремы.
