17.2.5. Спектральная плотность флуктуаций

Мы выразили полную дисперсию флуктуирующего тока через интеграл по всем частотам. Если переписать выражение (17.2.25) в виде

то станет ясно, что неотрицательная функция

представляет собой спектральную плотность флуктуаций тока. В силу линейности системы, которая отражена в уравнении (17.2.14) и согласно которой изменения тока и изменения возмущения V пропорциональны друг другу, флуктуации тока эквивалентны флуктуациям, создаваемым приложенным возмущением V с нулевым средним, спектральная плотность которых

Интеграл от по всем положительным частотам дает полную среднеквадратичную флуктуацию внешнего возмущения, которое приводило бы к флуктуации тока определяемой выражением (17.2.25).

Если сравнить результат (17.2.28) с формулой (17.2.21), то увидим, что они пропорциональны друг другу и содержат одинаковые интегралы. Поэтому можно соотнести и записать

Множитель в правой части можно переписать в виде

Полученное выражение можно рассматривать как среднюю энергию гармонического осциллятора в состоянии теплового равновесия при температуре Это также есть средняя энергия моды теплового равновесного излучения [ср. (13.1.8)], где есть среднее число заполнения моды и добавлен вклад энергии нулевых колебаний

С помощью (17.2.30) можно переписать (17.2.29) в компактной форме

которая является обычной формулировкой флуктуационно-диссипационной теоремы. Используя соотношение между можно выразить ее в эквивалентном виде

Эта теорема устанавливает связь между тепловыми флуктуациями на частоте слева и диссипацией системы на частоте справа, а пропорциональность выявляет тесную связь между флуктуациями и диссипацией. Когда частота достаточно мала, или температура достаточно высока, так что можно аппроксимировать величину ее классическим пределом и записать

Данное соотношение, как было показано ранее, может быть получено классическим способом (Nyquist, 1928). В другом пределе имеем поэтому

Однако, при вычислении полной флуктуации когда требуется интегрирование по всем положительным частотам, необходимо использовать общее выражение (17.2.30) для желательно в спектральной плотности учитывать как положительные, так и отрицательные частоты, так чтобы

то переписываем (17.2.31) в виде

исходя из предположения, что

Рассмотрим два примера, иллюстрирующие полезность флуктуационно-диссипационной теоремы.