Глава 13. ИЗЛУЧЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ, НАХОДЯЩИХСЯ В СОСТОЯНИИ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ

Мы уже вывели целый ряд общих свойств квантованного электромагнитного поля и встретились с некоторыми полезными методами рассмотрения определенных проблем квантовой оптики. Были введены корреляционные функции поля и показано в общем виде, как они связаны с измерениями. Выбирая иллюстрирующие примеры, мы стремились сосредоточить наше внимание, главным образом, на определенных идеализированных квантовых состояниях поля, таких, как фоковские состояния или когерентные состояния. Однако, существует еще не рассмотренный нами важный класс оптических полей с простыми свойствами — так называемые тепловые поля, который включает большинство полей, обычно встречаемых на практике. Эти поля создаются источниками, находящимися в состоянии теплового равновесия, и обладают многими свойствами, которые можно рассмотреть почти точно в нашем формализме. Обратимся теперь к изучению этих полей.

13.1. Излучение черного тела

13.1.1. Оператор плотности

Излучением черного тела называется электромагнитное поле, находящееся в состоянии теплового равновесия с большим тепловым резервуаром (или тепловой баней) при некоторой температуре По определению такое поле предполагается взаимодействующим с тепловой баней и, следовательно, не является свободным в том смысле, который использовался в предыдущих главах. Однако взаимодействие может быть настолько слабым, насколько мы захотим, и из общей теории статистической термодинамики хорошо известно, что свойства системы, имеющей много степеней свободы и находящейся в состоянии теплового равновесия (описываемой каноническим ансамблем), часто похожи на свойства эквивалентной изолированной системы (описываемой микроканоническим ансамблем). В общем случае система, описываемая полным гамильтонианом и находящаяся в состоянии теплового равновесия при температуре имеет оператор плотности задаваемый распределением Больцмана

где постоянная Больцмана Выражение (13.1.1) описывает хорошо известный канонический ансамбль, в котором вероятность любого состояния экспоненциально зависит от энергии, так что для каждой степени свободы значения энергии, превышающие очень маловероятны.

Применим (13.1.1) к квантованному оптическому полю, находящемуся в кубическом резонаторе со стороной Тогда согласно (10.3.15)

и оператор плотности поля принимает вид

Стоит отметить, что вызывающая затруднения энергия нулевых колебаний исключена автоматически при нормировке. Безразмерное отношение встречается очень часто, поэтому обозначим его в виде

Замечая, что

так что

и подставляя в (13.1.2), получаем формулу

Изменение порядка операций возможно, поскольку операторы, относящиеся к разным модам, действуют в различных подпространствах гильбертова пространства.

Согласно выражению (13.1.4) оператор плотности представляется в виде произведения операторов плотности отдельных мод, так что все моды электромагнитного поля являются статистически независимыми друг от друга. Тот факт, что единственный параметр выражения (13.1.4) — не зависит от направления к или от поляризации для каждой -моды, уже означает то, что поле является изотропным и неполяризованным, как будет более точно показано ниже. Более того, поскольку является функционалом на множестве операторов числа фотонов он описывает поле, которое является как стационарным, так и пространственно однородным (ср. разд. 12.8).