11.9.1. Квантовые характеристические функции

Среди нормально упорядоченных операторов, которые будут представлять для нас особый интерес в квантовой оптике, есть генератор среднее значение которого представляет собой характеристическую функцию отвечающую нормальному упорядочению. Таким образом,

Производные от этой характеристической функции по и и и порождают нормально упорядоченные моменты операторов рождения и уничтожения. Например,

С учетом теоремы эквивалентности получаем

Поскольку является двумерным фурье-ядром, мы видим, что является характеристической функцией, связанной с весовой функцией в обычном смысле теории вероятностей (если не считать возможный неклассический характер При помощи обратного фурье-преобразования выражения (11.9.11) получаем другое интегральное представление для в виде

Излишне говорить, что существование этого интеграла в обычном смысле, или положительная определенность обеспечивается данным выражением не больше, чем выражением (11.8.11).

Для того чтобы немного глубже изучить поведение отметим, что характеристическая функция - это лишь одна из возможных квантовых характеристических функций, определяемых различными порядками операторов. Например, если операторы упорядочены антинормально, получаем характеристическую функцию

Две функции , и просто связаны между собой. Действительно, из тождества Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа (11.3.4) следует, что

так что

Ясно, что функция растет намного быстрее при увеличении и, чем функция

Мы придем к интересному выражению для если вставим единичный оператор в виде (11.6.4) в определение (11.9.13). Тогда

Видно, что операторы а и а) находятся слева и справа от соответствующих собственных векторов под знаком интеграла, так что их можно заменить на собственные значения у и и. Взяв след, приходим к выражению

из которого видно, что является фурье-образом абсолютно интегрируемой функции

Другая возможная характеристическая функция есть симметризованная, или вейлевски упорядоченная характеристическая функция

которая равна среднему значению оператора смещения рассмотренного в разд. 11.3. Поскольку унитарен, получаем

С помощью тождеств Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа (11.3.4) находим

откуда получаем следующие ограничения для

Сразу видно, что ограничение для очень слабое и в общем случае слишком слабое, чтобы гарантировать во всех случаях существование интеграла (11.9.12), представляющего весовую функцию в виде обычной функции. К счастью, во многих практически интересных случаях растет намного медленнее при увеличении и, чем верхняя граница