3.2.4. Представление Вейля для сферической волны

В хорошо известной работе (Weyl, 1919), посвященной распространению электромагнитных волн на проводящей сфере, Вейль получил новое представление для сферической волны. Это представление можно рассматривать как представление в виде углового спектра волнового поля в свободном пространстве, которое испускается точечным источником, помещенным в начало координат. Так как сферическая волна представляет собой функцию Грина оператора Гельмгольца, представление Вейля нашло много полезных приложений, которые связаны с анализом излучения, с задачами дифракции и рассеяния на основе методов углового спектра.

Вследствие того, что сферическая волна сингулярна в центре, строгий вывод представления Вейля требует некоторой математической изощренности. Мы не будем касаться тонкостей, лежащих в основе этого представления, и дадим чисто формальный вывод. Строгое доказательство этого представления можно найти в других источниках (см., например, Banos, 1966, разд. 2.13).

Рассмотрим расходящуюся сферическую волну (опустим временной множитель

где расстояние от центра волны до точки поля. В любых точках, за исключением начала координат удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

Однако естественно предположить, что если выбрать прямоугольную декартову систему координат с началом координат в точке, где находится источник, то можно представить в каждом из полупространств виде углового спектра плоских волн. Рассмотрим сначала представление в полупространстве Тогда мы будем иметь, во всяком случае формально,

где определяется из выражений (3.2.21), а именно,

Предположим, что функция допускающая представление (3.2.49), существует и, более того, формула (3.2.49) остается справедливой при за исключением начала координат (сингулярность сферической волны). Тогда в пределе при

Выполняя тривиальную замену переменных интегрирования и применяя формулу обратного преобразования Фурье, получаем следующее выражение для функции спектральной амплитуды

Интеграл в правой части (3.2.52) можно вычислить в замкнутом виде. Для этого положим

Тогда выражение (3.2.52) принимает вид

Интегрирование по можно выполнить непосредственно. Это дает (Watson, 1944, с. 20, выражение (5), с очевидной подстановкой)

где функция Бесселя нулевого порядка первого рода. Таким образом, (3.2.54) принимает вид

Интеграл в правой части можно вычислить при помощи хорошо известных формул преобразования Ганкеля [Erdelyi, 1954, с. 7, разд. 8.2, формулы (5) и (6)]

Если объединить действительную и мнимые части этих выражений и сократить общие множители, то получим формулу

Если в этих формулах положить воспользоваться тем фактом, что, в соответствии с (3.2.536), то найдем

Подставляя формулу (3.2.58) в (3.2.56) и вспоминая определение (3.2.50) для величины получим следующее простое выражение для амплитуды углового спектра:

При подстановке (3.2.59) в (3.2.49) окончательно получим искомое представление для сферической волны:

Более тщательный анализ показывает, что эта формула, в действительности, справедлива не только в области полупространства но и, как мы предполагали, на плоскости за исключением начала координат.

Точно таким же образом, или используя соображения симметрии, можно показать, что при выражение (3.2.60) остается справедливым, если z заменить на Комбинируя две эти формулы, получаем для всех

Выражение в правой части уравнения (3.2.61) суть форма представления Вейля для расходящейся сферической волны. Оно описывает сферическую волну в каждом полупространстве виде углового спектра плоских волн, который состоит из однородных волн, распространяющихся в дальнюю зону и затухающих волн, экспоненциально убывающих по амплитуде при увеличении расстояния от плоскости z. Заметим, что угловая функция спектральной амплитуды каждой из плоских волн, определяемая уравнением (3.2.59), является сингулярной при т.е. при Последнее соотношение представляет собой окружность на -плоскости, при переходе через которую изменяется характер мод плоских волн, а именно, моды являются однородными, если и затухающими, если Сингулярное поведение спектральной амплитуды на этой окружности обусловлено сингулярностью сферической волны в начале координат. Однако эти сингулярности в подынтегральном выражении представления Вейля являются интегрируемыми, конечно, за исключением случая, когда Другая причина сингулярности сферической волны состоит в том, что подынтегральное выражение неаналитично [наличие вместо z в (3.2.61)].

Прежде чем продвинуться дальше, кратко рассмотрим соответствующее представление Вейля для сходящейся сферической волны. Его можно вывести непосредственно, выполняя комплексное сопряжение уравнения (3.2.61). Если перейти от переменных интегрирования к переменным — то

где звездочка означает комплексное сопряжение. Если вспомнить, что согласно для однородных волн и для затухающих волн, то станет ясно, что формула (3.2.62) представляет сходящуюся сферическую волну в каждом полупространстве виде суперпозиции однородных волн, распространяющихся от дальней зоны к началу координат, и затухающих волн, амплитуды которых экспоненциально убывают при увеличении Таким образом, по сравнению со случаем расходящейся волны, каждая однородная волна распространяется в обратном направлении, тогда как затухающие волны не изменяются.

На основе (3.2.61) можно легко получить другой вариант формулы Вейля, если ввести другие переменные интегрирования. Для этой цели положим

Вспоминая, что (условие, согласно которому каждый член под знаком интеграла представляет моду уравнения Гельмгольца ясно, что для однородных волн

— сферические полярные углы, задающие направления распространения вдоль полярной оси в положительном направлении оси Однако, так как для затухающих волн комплексная величина, то преобразование (3.2.63) требует, чтобы для таких волн угол а был комплексным. Можно легко проверить, что для однородных волн

тогда как для затухающих волн

где На рис. 3.14а через обозначена часть -контура, соответствующая однородным волнам, а часть контура, соответствующая затухающим волнам.

Рис. 3.14. а-контуры, используемые в представлении Вейля для сферической волны. На рис. а каждая точка на горизонтальном сегменте связана с однородной плоской волной, а каждая точка на вертикальной линии связана с затухающей волной в формуле (3.2.61). Кривая С на рис. б - контур, используемый в формуле (3.2.67)

Вычисляя якобиан преобразования можно легко показать, что в обоих случаях

Очевидно, что для действительных значений а выражение (3.2.66) представляет собой элемент телесного угла, образованного (действительными) направлениями распространения однородных плоских волн, в подынтегральном выражении формулы (3.2.61). Подставляя (3.2.66) в (3.2.61), получим следующее альтернативное представление расходящейся сферической волны:

Здесь конечно, определяются формулами (3.2.63).

Применяя хорошо известные правила интегрирования в комплексной плоскости, контур можно заменить контуром, обозначенным на рис. 3.14 как С. Этим контуром может быть любая кривая на комплексной -плоскости, которая начинается в начале координат, асимптотически стремится к и лежит целиком внутри заштрихованной полоски. Формула (3.2.67), в которой заменен на С, является оригинальным вариантом представления Вейля для расходящейся сферической волны.

Рассмотрим поведение модовых функций вдоль такого контура С. Поскольку каждый из трех параметров принимает комплексные значения в каждой точке на кривой С, за исключением начала координат, будем полагать, что

где действительные величины. Тогда, очевидно, имеем

откуда видно, что поверхности равных амплитуд и равных фаз отличаются, за исключением особых значений параметров. Однако эти моды представляют собой плоские волны, распространяющиеся в направлениях, направляющие косинусы которых пропорциональны а амплитуды экспоненциально убывают в направлениях Здесь верхний и нижний знаки соответствуют и Эти моды, очевидно, являются обобщениями затухающих волн, с которыми мы уже встречались ранее.