1.3.1. Преобразования случайных переменных
Пусть 
случайная переменная, определенная на интервале 
с плотностью вероятности 
Иногда возникает необходимость совершить переход от 
к новой переменной у, где
и мы хотим найти плотность вероятности 
для у. Во-первых, предположим, что преобразование (1.3.9) имеет однозначную обратную функцию
Тогда, если х и у соответствуют друг другу, и интервал 
соответствует интервалу 
очевидно, имеем
так что
В более общем случае, если обратная функция многозначна, заданному у соответствуют различные 
т.е.
то следует добавить вероятности, связанные с этими различными, взаимоисключающими 
и мы имеем вместо выражения (1.3.11) следующее
Тот же результат может быть формально выражен в более компактной форме
если мы разложим дельта-функцию обычным способом через ее нули
Выражение (1.3.14) может быть интерпретировано в том смысле, что плотность вероятности для у получается путем интегрирования плотности вероятности 
по всем значениям 
которые соответствуют у, т.е. по таким значениям, которые ограничены условием 
В качестве примера рассмотрим изменение вероятности при преобразовании 
которое имеет двузначную обратную функцию
В этом случае выражение (1.3.14) приводит к формуле
Далее мы рассмотрим более общую ситуацию, в которой имеется набор из 
переменных 
с совместной плотностью вероятности 
Перейдем к новому набору переменных 
с плотностью вероятности 
Если преобразование
имеет однозначную обратную функцию
то
где 
Якобиан преобразования
И снова можно выразить преобразование вероятности с помощью дельта-функций в более компактной форме
которая справедлива, когда обратная функция является многозначной.
Если случайная переменная 2 является комплексной, причем 
то фактически мы имеем дело с двумя переменными 
Плотность вероятности 
переменной 2 тогда является попросту совместной плотностью вероятности х и у, и условие нормировки на 
принимает вид
где
является сокращенным обозначением для 
Плотности вероятности комплексных случайных переменных могут рассматриваться как естественное обобщение вышеизложенной теории реальных случайных переменных.
