3.2.2. Угловой спектр волнового поля в полупространстве

Во многих задачах, связанных с распространением волн, например, при анализе дифракции в апертуре плоского экрана или при изучении распространения лазерного луча, имеют дело с волновыми полями в полупространстве, скажем В таких случаях часто бывает полезным использовать представление по модам волнового поля в полупространстве. Это представление можно получить из только что полученного результата для плоско-параллельного слоя [см. (3.2.12)], переходя к пределу

Предположим, что в полупространстве и поле удаляется на бесконечность, или, более точно, что если любой заданный единичный вектор, задающий направление в полупространстве то в асимптотическом пределе (см. разд. 3.3.4)

Функцию называют диаграммой направленности излучения поля.

Поскольку полупространство можно рассматривать как предел плоско-параллельного слоя при то ясно, что волновое поле в полупространстве можно также представить в виде (3.2.12). Однако, как мы сейчас покажем, рассмотренное поведение волнового поля при его распространении на бесконечность и некоторые простые физические соображения приводят к упрощению. Для этого целесообразно разделить второй интеграл в правой части уравнения (3.2.12) на вклады однородных и неоднородных волн:

где определяется выражением (3.2.10). Так как при амплитуды всех мод плоских волн во втором интеграле в правой части (2.3.15) увеличиваются неограниченно при увеличении z. В любом реальном поле таких мод, очевидно, не будет, т.е.

Далее рассмотрим первый интеграл в правой части (3.2.15). Он представляет собой вклады однородных плоских волн, которые распространяются по направлению к плоскости и кажется очевидным, что их совместный эффект будет представлять поле, являющееся входящим, а не выходящим, как это следует из уравнения (3.2.14). То, что это так, можно приближенно показать, используя принцип стационарной фазы (см. Miyamoto and Wolf, 1962, с. 615, приложение), который мы рассмотрим в разд. 3.3. Следовательно, можно заключить, что в дополнение к требованию (3.2.16а) мы должны также иметь

Из выражений (3.2.12) и (3.2.16) следует, что любое волновое поле в полупространстве которое является квадратично интегрируемым на любой плоскости и которое и уходит на бесконечность в полупространстве, можно представить в виде

где определяется формулой (3.2.10).

Для дальнейших целей целесообразно перейти к новым переменным

где , как и раньше, — волновое число поля в свободном пространстве, связанное с частотой [см. (3.2.46)]. Тогда формула (3.2.17) принимает вид

где

и

Рис. 3.10. Асимптотическое поведение (в дальней зоне) представления в виде углового спектра (3.2.19) волнового поля на полуплоскости Поле в точке дальней зоны задается формулой (3.2.22), а именно, где декартовы координаты (направляющие косинусы) единичного вектора

Формулы (3.2.19) и (3.2.17) представляют собой эквивалентные разновидности представления монохроматического, удаляющегося на бесконечность волнового поля в полупространстве которое распространяется на бесконечность в этом полупространстве в виде углового спектра плоских волн. Моды плоских волн бывают двух видов. Моды, для которых являются однородными волнами, распространяющимися в полупространстве Моды, для которых представляют собой неоднородные волны, амплитуда которых убывает экспоненциально при увеличении расстояния z от граничной плоскости Последние известны как быстроз хающие волны.

Мы постулировали, что поле удаляется на бесконечность, т.е. оно имеет асимптотическое поведение (3.2.14). То, что представление углового спектра (3.2.19) действительно имеет такое поведение, будет показано позже [см. (3.2.34) и (3.3.95)]. Согласно формуле (3.2.19) в общем случае имеем

для любого фиксированного направления где в полупространство (рис. 3.10).

Из формулы (3.2.22) видно, что спектральная амплитуда (в общем случае — комплексная) одной и только одной плоской волны в представлении углового спектра дает вклад в асимптотическое поведение поля в заданном направлении а именно, в направлении, обозначенном параметрами Так как эта плоская волна должна быть однородной и в точности представлять

собой плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора в котором рассмотрен асимптотический предел (дальняя зона). Физическая сущность этого результата станет очевидной чуть позже (в разд. 3.3), когда будет обсуждаться асимптотическая оценка определенных интегралов, основанная на методе стационарной фазы.

Мы только что видели, что существует тесная связь между дальним полем и спектральными амплитудами мод однородной плоской волны в представлении через угловой спектр поля в полупространстве Покажем теперь, что существует также простое соотношение между спектральными амплитудами всех мод плоской волны и граничными значениями поля в плоскости и что это соотношение дает простую физическую трактовку того, какую информацию несет каждая мода плоской волны. Для этого сначала представим поле на плоскости в виде двумерного интеграла Фурье:

где в обозначениях, используемых в (3.2.5), . С физической точки зрения, в выражении (3.2.23) граничные значения поля на плоскости представлены через всевозможные двумерные пространственные периодические компоненты, соответствующие двумерным пространственным частотам Амплитуды Фурье (в общем случае — комплексные), полученные при обратном фурье-преобразовании функции :

представляют собой интенсивность, с которой пространственно-частотная компонента ( вносит вклад в граничное значение поля на плоскости

Из представления в виде углового спектра (3.2.19) сразу следует, что

или, если перейти от переменных интегрирования к согласно первым двум соотношениям из (3.2.18), то формула (3.2.25) примет вид

Сравнивая это выражение с (3.2.23), мы видим, что

то

Это соотношение показывает, что спектральная амплитуда каждой моды плоской волны в представлении поля угловым спектром однозначно определяется одной и только одной пространственно-частотной компонентой (т.е. фурье-компонентой) граничного значения поля на плоскости а именно, компонентой, называемой «пространственной» частотой

Для того, чтобы глубже понять тесную связь между модами углового спектра и граничными значениями поля на плоскости нужно ввести пространственные периоды которые связаны с пространственными частотами через соотношения

Так как согласно где — длина волны монохроматического поля, формула (3.2.29) означает, что

Рис. 3.11. Иллюстрация смысла расстояния определяемого уравнением (3.2.32)

Поскольку для однородных волн а для затухающих волн из (3.2.30) следует, что однородные волны связаны с пространственными периодами, для которых

а затухающие волны связаны с пространственными периодами, для которых

Чтобы ясно понять физический смысл приведенных выше неравенств, введем длину которая представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из угла прямоугольника со сторонами на противолежащую диагональ (рис. 3.11). Если — угол между и осью то, очевидно, имеем следовательно,

Из того, что мы только что выяснили, следует, что пространственно-частотные компоненты для которых приводят к однородным волнам, тогда как компоненты, для которых приводят к затухающим волнам.

Рис. 3.12. Пространственные периодичности поля на плоскости в окрестности которой несут информацию однородные волны а и затухающие волны

Заметим, что в особом случае, когда (одномерное граничное поле), длина равна . Не существует простого соответствия для двумерного граничного поля, но мы можем рассматривать как меру величины периодической компоненты, с которой она связана соотношением (3.2.32). В таком понимании неравенства (3.2.31а) и (3.2.316) означают, грубо говоря, что однородные волны несут информацию о периодических элементах поля на плоскости которые больше длины волны, тогда как затухающие волны несут информацию о периодических элементах, которые меньше длины волны. Точное определение границ между двумя областями и показано на рис. 3.12.

Из формул (3.2.18) и (3.2.21) следует, что однородные волны соответствуют пространственным частотам, для которых

тогда как затухающие волны соответствуют пространственным частотам, для которых

Часто говорят, что пространственные частоты, удовлетворяющие неравенству (3.2.33а), являются низкими пространственными частотами, тогда как частоты, удовлетворяющие неравенству (3.2.336), являются высокими пространственными частотами.

Вернемся на время к формуле (3.2.22) для дальнего поля. Если подставить вместо функции спектральной амплитуды выражение (3.2.27), то выражение (3.2.22) примет вид

вдоль любого заданного направления в в полупространстве Поскольку не может быть больше единицы, и из (3.2.34) видно, что дальнее поле полностью определяется низкими пространственными компонентами поля на плоскости Это должно было иметь место, поскольку, как мы только что узнали, высокие пространственные частоты приводят к затухающим волнам, а амплитуда таких волн спадает экспоненциально при увеличении расстояния z от граничной плоскости Такие волны в общем случае не дают вклада в дальнее поле. Выражение (3.2.34), которое будет получено непосредственно в разд. 3.2.5 [см. (3.2.88)], представляет точный вариант хорошо-известной формулы Фраунгофера из элементарной теории дифракции (ср. Goodman, 1968, с. 61).