11.8.6. Примеры

(а) Когерентное состояние

Предположим, что поле находится в когерентном состоянии так что Тогда из (11.6.1) получаем для матричного элемента выражение

подставляя которое в (11.8.11), находим

откуда

Таким образом, весовая функция в случае когерентного состояния представляет собой двумерную дельта-функцию, и

Этот результат, конечно, можно было бы написать сразу, но мы привели вычисление для иллюстрации метода. В данном случае функция имеет характер классической плотности вероятности. Действительно, классическому осциллятору с комплексной амплитудой была бы приписана в классическом интегральном представлении такая же функция распределения в фазовом пространстве.

(б) Модель лазера со случайной фазой

Как будет показано позже (в гл. 18), оптическое поле лазера, генерирующего в одномодовом режиме при существенном превышении порога, находится в состоянии, которое во многих отношениях близко к когерентному состоянию Интенсивность поля почти не имеет флуктуаций и остается постоянной, благодаря свойствам насыщения лазера. С другой стороны, фаза генерации может флуктуировать и в общем случае дрейфует случайно во времени. С точки зрения последовательности измерений, выполненных на одном и том же лазере, состояние поля представляется в виде смеси когерентных состояний имеющих одинаковое значение но равномерно распределенную в интервале от до фазу в комплексной амплитуды Иногда в качестве лучшей аппроксимации лазерного поля в чистом когерентном состоянии выбирают следующую весовую функцию [ср. (18.5.16) ниже]

Поскольку в не присутствует явно в данном выражении, угол в распределен равномерно по всей области возможных значений. Множитель нужен для того, чтобы плотность вероятности фазы, как и требуется, равнялась Эта весовая функция идентична плотности вероятности, которая приписывалась бы смеси классических осцилляторов со случайными фазами. Стоит отметить, что в состоянии (11.8.14), в отличие от чистого когерентного состояния поля, средние значения операторов уничтожения и рождения а и а) обращаются в нуль, так как

и аналогично для среднего значения а).

Интересно сравнить распределения вероятности действительной части комплексной амплитуды в когерентном состоянии и в смешанном состоянии (11.8.14). Если записать то плотность вероятности величины которую обозначим через равна

Рис. 11.2. Теоретическая форма плотности вероятности соответствующая: а — полю одномодового лазера со случайной фазой [(11.8.11)], б - излучению теплового источника в — суперпозиции двух полей одномодовых лазеров [(11.8.29)] (Mandel, 1965)

В случае когерентного состояния и функции задаваемой формулой (11.8.13), получим

так что х имеет точно определенное значение х. Однако, ситуация совершенно другая для смеси состояний, описываемой выражением (11.8.14). В этом случае находим

Здесь мы воспользовались обычным свойством дельта-функции

где нули функции Функция задаваемая выражением (11.8.16), показана на рис. 11.2 (кривая а). Она имеет вид, ожидаемый для классического распределения вероятности величины когда в является случайным фазовым углом, и приблизительно соответствует распределению действительной амплитуды одномодового лазера.

(в) Тепловое излучение

В разд. 13.1 будет показано, что для теплового излучения и вообще для плоской световой волны, создаваемой произвольным тепловым источником, каждая мода поля имеет весовую функцию

где среднее число фотонов в данной моде. Это есть гауссовское распределение комплексной переменной у, которое, как видно, тождественно по форме соответствующему распределению вероятности, возникающему при классическом описании теплового света. Распределение действительной части у получается сразу из (11.8.18), если последнее проинтегрировать по Результат имеет вид

Эта функция также показана на рис. 11.2 (кривая б). Все эти примеры показывают, что в случае, когда состояние поля имеет классический аналог, функция совпадает с соответствующей классической плотностью вероятности.

(г) Фоковское состояние

В качестве менее тривиального примера рассмотрим диагональное представление оператора плотности по когерентным состояниям для поля, находящегося в фоковском состоянии когда Матричный элемент легко вычисляется с помощью (11.2.11), и мы находим

Подставляя этот результат в (11.8.11), получаем

Этот интеграл расходится и не существует в виде обычной функции. Более того, интеграл более сингулярен, чем дельта-функция, когда Однако, пренебрегая сингулярным поведением и продолжая рассуждения чисто формально, множитель под знаком интеграла можно представить как результат дифференцирования экспоненты и записать

Следовательно, функция выражается в виде производной от дельта-функции и существенно сингулярнее любой классической плотности вероятности. Данная функция принадлежит классу умеренных распределений (Bremerman, 1965, разд. 8.8; Nussenzveig, 1972, прил. А. 10). Это говорит о том, что фоковское состояние представляет собой квантовое состояние поля, не имеющее классического аналога. Как мы уже отмечали, в общем случае, функция не является плотностью вероятности для таких состояний. Конечно, в частном случае фоковского состояния — вакуумном состоянии, и из (11.8.20) следует, что в соответствии с (11.8.13), поскольку вакуум также является примером когерентного состояния.

(д) Суперпозиция двух когерентных состояний

Рассмотрим теперь пример еще более сингулярной весовой функции Пусть состояние есть суперпозиция когерентных состояний

где комплексные числа выбираются соответствующим образом для соблюдения нормировки Хотя каждое когерентное состояние отдельно можно интерпретировать классически, сопоставив ему оптическое поле с определенной комплексной амплитудой у или суперпозиционное состояние не имеет классической интерпретации. Оно не описывает поле, получаемое в результате физической суперпозиции или интерференции двух оптических полей, которое будет обсуждаться ниже, а представляет собой типично квантовомеханическое состояние. Оператор плотности равен его матричный элемент задается выражением

Следовательно, из (11.8.11) для весовой функции получим

Первые два члена могут быть выражены, как и раньше, через дельта-функции. Однако, каждый из оставшихся двух членов под знаком интеграла содержит ядро фурье-преобразования, умноженное на действительную экспоненциальную функцию переменных и, и, и при некоторых значениях аргументов растет быстрее любой степени . Данные интегралы, таким образом, еще более сингулярны, чем те, с которыми мы сталкивались при построении представления для фоковского состояния. Тем не менее, продолжая вывод чисто формально, разложим экспоненциальные множители и

др. в степенной ряд по и затем представим каждую степень, дифференцируя фурье-ядро под знаком интеграла. В результате получим

Данное выражение содержит производные от дельта-функции бесконечно большого порядка и не принадлежит к обычным классам распределений. Тем не менее, связывая эту весовую функцию с достаточно регулярными (бесконечно дифференцируемыми) пробными функциями, можно получить имеющие смысл, конечные ответы, формально применяя правила дифференцирования и интегрирования.

В качестве примера, рассмотрим следующий интеграл, который имеет простую физическую интерпретацию

где задается выражением (11.8.21). Вклады первых двух слагаемых сразу вычисляются из (11.8.21) и равны Чтобы вычислить член, пропорциональный разложим каждый экспоненциальный оператор в степенной ряд и проинтегрируем по частям. Удобно сделать замену переменных Тогда

где

Выражение в скобках упрощается с помощью тождества Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа

применяя его для дифференциальных операторов, при условии, что как А, так и В коммутируют с Полагая легко найдем, что

так что

Второе применение тождества Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа приводит к результату

Подынтегральное выражение можно легко вычислить, разлагая экспоненциальные операторы в степенной ряд. В каждом разложении дают вклад только первые два члена, и после объединения их с дельта-функцией под знаком интеграла получим

Слагаемое, пропорциональное вычисляется таким же образом, так что окончательно, объединяя все четыре выражения, получаем

Это есть совершенно определенное и регулярное решение задачи, несмотря на чрезвычайно сингулярный характер В следующем параграфе станет ясно, что вычисленный нами интеграл есть не что иное, как среднее значение оператора числа фотонов в состоянии Конечно, непосредственно его можно вычислить намного проще.

(е) Интерферирующие поля

В оптике часто встречаются ситуации, когда два или более световых пучка совмещаются для получения интерференционных эффектов. В этих случаях полное электромагнитное поле в каждой точке пространства и времени есть сумма полей, создаваемых отдельными пучками, и, аналогично, полное возбуждение каждой моды есть сумма отдельных возбуждений, создаваемых каждой составляющей полного поля.

Рассмотрим теперь представление в фазовом пространстве состояния суммарного поля. Предположим, что один пучок сам по себе можно рассматривать как возбуждение поля в когерентное состояние тогда как другой пучок сам по себе можно рассматривать как возбуждение в когерентное состояние Если два пучка или два возбуждения присутствуют одновременно, то полное возбуждение характеризуется произведением двух операторов смещения, действующих на вакуумное состояние. Теперь учтем, что произведение двух операторов смещения есть другой оператор смещения с точностью до фазового множителя [см. (11.3.14)], так что оператор плотности суммарного поля задается выражением

Теперь рассмотрим более общую ситуацию, когда состояния полей не обязательно являются чистыми когерентными состояниями, а могут быть произвольными. Тогда, можно построить диагональное представление оператора по когерентным состояниям, объединяя вышеуказанные проекционные операторы на когерентные состояния и записывая

где есть некоторая совместная плотность распределения в фазовом пространстве. Конечно, такое представление через функцию двух отдельных комплексных переменных имеет смысл только в том случае, когда два возбуждения могут существовать отдельно, например, когда любой из пучков можно по очереди блокировать. В этом случае два отдельных поля можно описать операторами плотности такими, что

где

и

где

Используя замену переменных можно переписать (11.8.23) в виде

где

что имеет обычный вид диагонального представления по когерентным состояниям.

В частном случае, когда два возбуждения поля независимы, совместная весовая функция в (11.8.23) разбивается на произведение отдельных весовых функций для отдельных возбуждений, и мы получаем

В этом случае выражение (11.8.24) сводится к

Таким образом, весовая функция диагонального представления суммарного поля есть свертка весовых функций диагональных представлений отдельных полей.

Очевидно, что если каждое возбуждение имеет вид когерентного состояния, так что то

Полученное выражение, как и следовало ожидать, соответствует когерентному состоянию

Менее тривиальная для применения выражения (11.8.26) ситуация получается при совмещении световых пучков двух одномодовых лазеров (Mandel, 1965). Предположим, что два лазера одинаковы, но независимы, и что каждая весовая функция задается выражением (11.8.14). Тогда из (11.8.26) следует, что весовая функция результирующего поля равна

Полагая можно проинтегрировать по и получить

если воспользоваться свойством (11.8.17) дельта-функции. Отметим, что величина для суммарного поля не имеет больше точно определенного значения, а распределена в интервале от до Действительно, распределение величины имеет тот же вид, что и распределение действительной части у, задаваемое выражением (11.8.16) для одного лазерного пучка (если не считать того, что всегда ограничено условием Этот результат можно понять следующим образом. Для каждого лазерного пучка абсолютная амплитуда о постоянна, но случайный характер фазы приводит к тому, что распределяется в интервале от до с плотностью (11.8.16). При пересечении двух пучков имеет место интерференция,

и результирующая абсолютная амплитуда изменяется в зависимости от разности фаз между пучками в интервале от до Случайный характер фазы является причиной подобного распределения результирующей абсолютной амплитуды.

Записывая и интегрируя распределение ф(х,у), определяемое формулой (11.8.28), по всем у, приходим к следующему выражению для распределения только х

Этот интеграл выражается в виде полного эллиптического интеграла К первого рода, и мы получаем

Это распределение также показано на рис. 11.2 (кривая в). Оно имеет сингулярность в точке но обладает с гауссовским распределением тем общим свойством, что наиболее вероятное значение х равно нулю. Если совмещаются несколько таких пучков, то распределение действительной части результирующей комплексной амплитуды довольно быстро стремится к гауссовскому, что следует из центральной предельной теоремы.