22.3. Генерация оптических гармоник

Генерация оптических гармоник является самым давним и наиболее известным примером нелинейного оптического процесса (Franken, Hill, Peters and Weinreich, 1961; Armstrong, Bloembergen, Ducuing and Pershan, 1962). Монохроматический световой пучок частоты падающий на нелинейную среду, порождает поле на частоте гармоники Для описания процесса необходимы комбинации из трех операторов рождения и уничтожения, и, следовательно, члены, содержащие в операторной форме выражения (22.2.5). Явление генерации оптических гармоник рассматривалось многими авторами. Мы будем в основном применять подход Киелиха и его коллег (Kozierowski and Tanas, 1977; Kielich, Kozierowski and Tanas, 1978), в котором гильбертово пространство ограничено только двумя модами на частотах и используется разложение в ряд Тейлора для описания эволюции динамических переменных во времени.

Выразим энергию двухмодового поля в сокращенной форме

где индексы 1, 2 относятся к основной и гармонической модам, соответственно. Действительная константа связи мод содержит нелинейную восприимчивость Гамильтониан наряду с процессом, в котором

два фотона с частотой поглощаются n порождают новый фотон на частоте гармоники описывает и обратный процесс. Из (22.3.1) с помощью коммутационных соотношений между операторами и легко находим, что

так что сумма является интегралом движения. Следовательно, на каждый испущенный фотон гармоники поглощаются два фотона основной моды.

Иногда удобнее заменить медленно изменяющимися операторами

которые подчиняются тем же правилам коммутации, что и но не осциллируют на оптических частотах. Тогда уравнения движения Гейзенберга для и примут вид

Подобно этому, мы можем вычислить вторые производные и в результате получим

Если плоская волна определенной частоты распространяется через среду в определенном направлении, то расстояние и время пропорциональны друг другу и являются, в некоторой степени, взаимозаменяемыми величинами. Так как время взаимодействия фактически равно времени распространения через среду, то, если оно достаточно короткое, можно аппроксимировать рядом Тейлора в окрестности С точностью до членов порядка это приводит к следующим формулам:

Разложения в ряд справедливы до тех пор, пока

Эти выражения можно использовать для построения других операторов, таких как операторы числа фотонов и вычисления их моментов. Предположим, что состояние поля в начальный момент времени является когерентным состоянием с комплексной амплитудой для моды 1 и вакуумным для моды 2. Тогда

и мы легко находим из (22.3.8) и (22.3.9) после перемножения, выражения всех операторов в нормально упорядоченном виде и вычисления средних значений, что

Интенсивность гармонической компоненты, следовательно, растет пропорционально квадрату времени распространения и квадрату интенсивности основной моды.

Флуктуации чисел фотонов могут быть вычислены аналогичным образом. С помощью (22.3.8) и (22.3.9) для разности между дисперсией и средним значением (Kozierowski and Tanas, 1977; Kielich, Kozierowski and Tanas, 1978) можно получить выражения

где обозначает порядок величины. Статистика фотонов гармоники, следовательно, близка к пуассоновской. С другой стороны для основной моды имеет место сужение распределения фотонов, или субпуассоновская статистика, хотя эффект мал для малых

22.3.1. Сжатие при генерации гармоник

Нетрудно показать, что основная мода, к тому же, становится сжатой (ср. гл. 21) при распространении света через нелинейную среду (Mandel, 1982). Для этой цели мы образуем два эрмитовых оператора

которые являются канонически сопряженными и соответствуют амплитудам двух квадратурных компонент основной моды. Фазовый угол может быть выбран произвольно, и очевидно, что отличается от только тем, что имеет угол увеличенный на Мы имеем сжатое состояние, если для некоторого дисперсия как так и меньше единицы, т.е. меньше значения дисперсии в вакуумном состоянии. Теперь из (22.3.8) мы легко находим, что

так что

Если выбрать то дисперсия величины будет меньше единицы, так что основная мода становится сжатой, по крайней мере, отчасти. Величина сжатия, измеренная по отклонению от единицы, задается отношением Мы видим, следовательно, что процесс генерации второй гармоники не описывается полностью классически, потому что он сопровождается появлением субпуассоновской статистики и сжатием, представляющими собой чисто квантово-механические явления.

На практике ситуация всегда сложнее, так как нельзя ограничиться только двумя хорошо определенными модами. Более того, для процессов, имеющих заметную вероятность, следует ожидать, что импульс также хорошо, как и энергия, сохраняется при взаимодействии. На самом деле, в определенных кристаллах можно одновременно удовлетворить условиям сохранения энергии и импульса подходящим выбором направлений распространения и поляризации световых лучей относительно кристаллических осей. Эта техника известна как фазовое согласование (Armstrong, Bloembergen, Ducuing and Pershan, 1962, Giordmaine, 1962; Maker, Terhune, Nisenoff and Savage, 1962; Yariv, 1967, гл. 21; Shen, 1984; Boyd, 1992).