18.2.1. Нормальные моды резонатора

Нормальные моды пустого резонатора могут быть определены как решения уравнения Гельмгольца

которые удовлетворяют подходящим граничным условиям. В общем случае, существует дискретный набор собственных частот и ортогональный набор собственных функций которые удобно различать с помощью индекса Мы можем тогда разложить любое электрическое поле в резонаторе по нормальным модам, записав

где коэффициенты есть комплексные амплитуды мод. Вводя осциллирующий множитель мы гарантируем, что является относительно медленно изменяющейся амплитудой. В общем случае, обозначает сразу три целых числа. Однако большинство лазерных резонаторов открыты. Они не ограничены замкнутыми поверхностями, а ограничены двумя неполностью отражающими зеркалами, так что формальное определение моды в этом случае, строго говоря, неприменимо. Тем не менее, принято говорить о модах резонатора, или квазимодах, в том смысле, что после многих отражений добавочные отражения практически не меняют распределение поля квазимоды в резонаторе. Это условие использовалось для вывода приблизительного вида модовых функций двухзеркального резонатора (Fox and Li, 1961; Boyd and Gordon, 1961; ср. также разд. 7.4). В случае простой геометрии легко найти приближенный вид Например, для оптического резонатора, образованного плоскими зеркалами с координатами очевидным приближением для набора частот и модовых функций является следующее

где обращается в нуль на поверхности каждого зеркала и целое число обычно, является очень большим. Однако ситуация становится более сложной, когда мода не аппроксимируется плоской волной, распространяющейся вдоль оси. В работах (Boyd and Gordon, 1961; Kogelnik and Li, 1966) было показано, что для конфокального резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами радиуса I, разнесенными на расстояние I вдоль оси, модовые функции в параксиальном приближении обычно характеризуются тремя целыми числами и задаются формулой

где К — нормировочный множитель; начало системы координат находится в центральной точке конфокального резонатора и ось z совпадает с осью резонатора; полином Эрмита порядка; фазовая функция синус которой обращается в нуль на двух зеркалах, задается выражением

— волновое число моды Из условия резонанса получаем соотношение

Моды низшего порядка, или аксиальные моды, имеют В этом случае, соответствующие модовые функции принимают вид распределения Гаусса с аксиальной симметрией. Необходимо отметить, что хотя неаксиальные модовые числа обычно малы или равны нулю, аксиальное модовое число является очень большим и характеризует число пучностей стоячей волны в лазерном резонаторе. Частотный интервал между двумя соседними аксиальными модами равен Из-за гауссовской формы их иногда называют гауссовскими модами. Можно показать, что различные модовые функции, задаваемые формулой (18.2.6) образуют полное ортогональное множество и мы можем выбрать константу К в выражении (18.2.6) так, чтобы они были нормированы на объем резонатора V, что делает функцию безразмерной, т.е.

Объем интегрирования распространяется на все значения х, у и на значения z, соответствующие промежутку между зеркалами. Моды, задаваемые выражением (18.2.5), нормируются в трех измерениях только в том случае, когда стоячие волны имеют конечную площадь поперечного сечения При этом константа К принимает вид

Данные моды были обобщены (Fox and Li, 1961; Boyd and Gordon, 1961; Kogelnik and Li, 1966) на случай резонатора длиной I, образованного двумя зеркалами с произвольными радиусами кривизны Эти моды имеют такую же общую структуру, как и моды (18.2.6), за исключением того, что начало системы координат должно находиться в перетяжке луча, которая может не совпадать с центральной точкой резонатора. Дополнительное ограничение состоит в том, что должно выполняться неравенство

Данное условие известно, как условие стабильности резонатора, и в случае его невыполнения нормальные моды в обычном смысле не существуют. Тем не менее, «нестабильные» резонаторы (см., например, Siegman, 1971) иногда используются в импульсных лазерах большой мощности, поскольку они обладают свойством распределять оптическое поле по большому объему активной среды. На рис. 18.3 приведены структуры некоторых неаксиальных мод, полученные при фотографировании торца газового лазера. Отметим, что число световых пятен вдоль или направления превышает модовое число или на единицу.

Рис. 18.3. Распределение интенсивности в различных модах поперечного электрического поля (ТЕМ) (Kogelnik and Rigrod, 1962). Индексы соответствуют величинам

В этой главе будут рассматриваться лазеры, в которых возбуждается только одна мода резонатора, так что индексы мод можно опустить, и выражение (18.2.4) заменяется следующим

Вид модовой функции играет незначительную роль в уравнении движения лазерного поля и для многих целей нет необходимости в его явном определении. В том случае, когда требуется явный вид и мы будем, как правило, выбирать аксиальную модовую функцию или еще более простую, задаваемую выражением (18.2.5).