14.9.2. Второй момент и субпуассоновская статистика счета

Соотношения между кумулянтами (14.9.7) полностью эквивалентны соотношениям между моментами (14.9.4). Рассмотрим два первых соотношения немного подробнее. Они могут быть записаны в виде

Из формулы (14.9.8) видно, что среднее число фотоэлектрических отсчетов задается произведением квантового выхода а детектора и интегральной фотонной плотности. Согласно (14.9.9) среднеквадратичная флуктуация фотоэлектрических импульсов может быть выражена в виде суммы вкладов флуктуаций независимых частиц и флуктуаций интегральных волновых полей. Данный результат можно рассматривать как обобщение хорошо известной формулы, впервые выведенной Эйнштейном для излучения черного тела (Einstein, 1909; Fiirth, 1928а, b; Mandel, Sudarshan and Wolf, 1964). Однако выражение (14.9.9) в действительности не подразумевает, что всегда превосходит так как может быть отрицательным для определенных состояний электромагнитного поля. В таком случае статистика поля становится субпуассоновской, что является характерной особенностью неклассического состояния. В качестве примера, мы отметим, что значение всегда отрицательно для фоковского состояния поля.

Рис. 14.14. К преобразованию двойного интеграла в выражении (14.9.10) в одинарный интеграл

Если воспользоваться определением (14.8.6) для то можно переписать (14.9.9) в виде

где вновь ввели нормированную корреляционную функцию интенсивности Пространственные координаты здесь не указаны. Для стационарного поля является функцией только разности времен и может быть записана как Если сделать замену в интеграле, то пределы становятся равными и Более того, двойной интеграл может быть сведен к однократному интегралу с помощью преобразования если мы проинтегрируем по диагональным полосам, расположенным под углом 45°, как показано на рис. 14.14, в точности, как в разд. 2.2.2, поскольку зависит только от Каждая полоса имеет длину и ширину Таким образом, можно записать

где

Функция имеет размерность времени и является той же функцией, которая была приведена на рис. 14.13 для частного случая света от теплового источника. Очевидно, что член в (14.9.11) измеряет отклонение статистики фотоэлектрического счета от пуассоновской, для которой

Относительное отклонение дисперсии от пуассоновской дисперсии для независимых фотоэлектрических импульсов можно выразить из (14.9.11) с помощью параметра

где есть средняя скорость счета освещенного фотодетектора. Следовательно, дисперсия больше или меньше пуассоновской в зависимости от того, является ли положительной или отрицательной. В частности, для интервала счета который много короче времени корреляции с хорошей степенью точностью можем заменить под знаком интеграла в (14.9.12) величиной Тогда имеем

является отрицательной всякий раз, когда отрицательна Из этого следует, что является условием субпуассоновской статистики счета при коротком времени счета

В качестве примера оптического поля, демонстрирующего субпуассоновскую дисперсию фотоотсчетов, отметим поле в одномодовом фоковском состоянии, для которого вероятность фотоэлектрического счета задается распределением Бернулли (14.8.16). Легко находим, что для этого распределения

всегда является отрицательной величиной и предполагает отрицательное значение Еще один, возможно, более физически наглядный пример связан с флуоресцентным светом, испускаемым при резонансе двухуровневым атомом в присутствии когерентного возбуждающего поля (см. разд. 15.6). Для такого поля можно показать, что (Carmichael and Walls, 1976а, b; Kimble and Mandel, 1976; Cook, 1981; Lenstra, 1982; Singh, 1983)

при Параметр 2/3 — это скорость спонтанного излучения невозбужденного атома, или коэффициент Эйнштейна А (см разд. 15.4), так называемая частота Раби, которая пропорциональна напряженности поля возбуждающего света. Так как статистика счета на коротких временах является субпуассоновской. Но, кроме того, мы также находим из (14.9.12) и (14.9.16), что

так что фотоотсчеты на длительном временном интервале также флуктуируют субпуассоновским образом. Это было подтверждено экспериментально (Short and Mandel, 1983, 1984). О других способах создания субпуассоновской статистики счета сообщается в работах (Teich, Salrh and Perina, 1984; Saleh and Teich, 1985; Teich and Saleh, 1985; Hong and Mandel, 1986; Machida and Yamamoto, 1986; Rarity, Tapster and Jakeman, 1987).