Главная > Оптическая когерентность и квантовая оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.2.2. Излучение от некоторых модельных источников

Проиллюстрируем полученные нами общие результаты на примере ряда модельных источников, которые достаточно часто встречаются в природе или используются в лабораториях.

Пусть будет снова взаимной спектральной плотностью источника, который занимает конечную область и статистическое поведение которого характеризуется стационарным, по крайней мере в широком смысле, ансамблем. Тогда

представляет собой спектральную плотность распределения источника и

— его спектральная степень когерентности.

Мы будем предполагать, что зависит от только через разность т.е. задается в виде

для каждой эффективной частоты в спектре источника. Источники такого типа известны как (первичные) источники модели Шелла, потому что такие источники (на самом деле их аналог для двумерных вторичных источников), по всей видимости впервые были рассмотрены Шеллом (Schell, 1961, 1967). Из уравнений (5.2.29) и (5.2.28) следует, что взаимная спектральная плотность источника модели Шелла задается в виде

Рис. 5.2. Иллюстрация к понятию квазиоднородного источника. Модуль спектральной степени когерентности распределения источника изменяется намного быстрее при изменении чем его спектральная плотность при изменении Для цели иллюстрации, выбранный источник является одномерным

Мы рассмотрим частный класс источников модели Шелла, а именно такие источники, для которых спектральная плотность как функция от изменяется при изменении положения столь медленно, что она является приближенно постоянной на расстояниях в пределах источника, которые порядка корреляционной длины (эффективной ширины см. рис. 5.2). В таких случаях обычно говорят, что суть медленная функция и что быстрая функция Кроме того, мы также предполагаем, что линейные размеры источника велики по сравнению с длиной волны и с корреляционной длиной Источники модели Шелла этого рода известны как квазиоднородные источники и, как мы позже убедимся, они создают поля, которые относительно просты при математическом анализе и богаты многочисленными свойствами, используемыми для моделирования разных ситуаций, представляющих практический интерес. Когда достаточно мала, порядка или меньше чем длина волны можно сказать, что такой источник является «локально» пространственно некогерентным на частоте Когда порядка многих длин волн, то можно сказать, что источник является пространственно когерентным в локальном смысле. Такое разграничение иногда бывает полезным, поскольку, как мы увидим позже, поля, создаваемые квазиоднородными источниками, принадлежащие к этим двум категориям, имеют разную структуру. Конечно, квазиоднородные источники всегда пространственно некогерентны в «глобальном» смысле, потому что их линейные размеры велики по сравнению с корреляционной длиной

Так как предполагается, что для квазиоднородных источников спектральная плотность меняется медленно при изменении положения в пределах эффективной ширины в правой части (5.2.30) можно использовать приближение

С использованием этого приближения в (5.2.30), взаимную спектральную плотность квазиоднородного источника с хорошей степенью точности можно выразить в виде

Шестимерное преобразование Фурье взаимной спектральной плотности источника, которое входит в выражения (5.2.8) и (5.2.15) для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения, сводится в этом случае к произведению двух трехмерных преобразований Фурье. Чтобы увидеть это, подставим (5.2.32) в (5.2.9) и перейдем от переменных интегрирования используя преобразование (5.2.176). Тогда мы сразу найдем, что

где трехмерные пространственные фурье-образы соответственно, а именно

Таким образом, мы видим, что когда взаимная спектральная плотность факторизуется в виде (5.2.32), что характерно для квазиоднородного источника, то его шестимерный пространственный фурье-образ также факторизуется в виде (5.2.33). Более того, поскольку для квазиоднородного источника медленная функция быстрая функция из соотношения взаимности, включающего эффективные ширины прямого и обратного фурье-образов [см. (4.3.76)], следует, что первый множитель в правой части (5.2.33) представляет собой быструю функцию К, а второй множитель суть медленная функция К. Эти свойства пригодятся нам в дальнейшем.

При подстановке (5.2.33) в (5.2.8) и (5.2.15) мы получим следующие выражения для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения поля, излучаемого трехмерным первичным квазиоднородным источником:

где Далее, подставляя (5.2.36) и (5.2.37) в формулу (5.2.24), мы находим, что спектральная степень когерентности дальнего поля, создаваемого источником, определяется выражением

где

Как мы только что показали, быстрая функция К, тогда как медленная функция

К. Поэтому ясно, что в аргументах для которых множитель в (5.2.38) существенно отличен от нуля, в правой части уравнения можно заменить на Следовательно, в уравнении (5.2.38) мы можем положить

Используя это приближение в (5.2.38), получим следующее выражение для спектральной степени когерентности для дальнего поля, создаваемого трехмерным первичным квазиоднородным источником:

Формулы (5.2.37) и (5.2.41) являются доказательством следующих двух интересных соотношений взаимности, которые относятся к излучению, создаваемому источниками этого типа:

(а) угловое распределение интенсивности излучения пропорционально трехмерному пространственному фурье-образу спектральной степени когерентности источника [см. (5.2.37)].

(б) спектральная степень когерентности для дальнего поля, с точностью до простого геометрического фазового множителя, равна нормированному трехмерному пространственному фурье-образу спектральной плотности источника [см. (5.2.41)].

Таким образом, мы видим, что влияния пространственных распределений спектральной плотности источника и его спектральной степени когерентности на дальнее поле существенно отличаются. Результат, который следует из вышеприведенной теоремы (б) [см. (5.2.41)], можно рассматривать как аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике [см. (4.4.40)] в дальней зоне для трехмерных первичных квазиоднородных источников.

Мы проиллюстрируем эти результаты на следующем простом примере. Рассмотрим трехмерный первичный изотропный квазиоднородный источник, для которого пространственные распределения спектральной плотности и спектральной степени когерентности являются гауссовскими:

где положительные величины, Предположение о том, что источник является квазиоднородным на частоте означает, что

Легко найти, что трехмерные пространственные фурье-образы выражений (5.2.42) (если опустить частотную зависимость имеют вид

Подставляя (5.2.44) в (5.2.37), получим следующее выражение для интенсивности излучения источника

Теперь видно, что интенсивность излучения не зависит от направления (задаваемого единичным вектором так как, по предположению, источник является изотропным; также видно, что интенсивность излучения пропорциональна эффективному объему источника. Заметим, что когда эффективная корреляционная длина источника меньше длины волны связанной с частотой т.е. когда источник является некогерентным в локальном смысле, формула (5.2.45) для интенсивности излучения сводится к

Таким образом, интенсивность излучения пропорциональна не только эффективному объему источника, но и эффективному объему когерентности,

Зависимость интенсивности излучения от эффективной корреляционной длины источника (5.2.45) показана на рис. 5.3.

Теперь рассмотрим когерентные свойства дальнего поля, создаваемого этим источником. Подставляя из (5.2.44) в (5.2.41), получим спектральную степень когерентности:

Поскольку единичные векторы, имеем (см. рис. 5.4)

Рис. 5.3. Нормированная интенсивность излучения, рассчитанная по формуле где как функция нормированной эффективной корреляционной длины ксгд эффективной нормированной корреляции, созданного трехмерным гауссовским квазиоднородным источником, описываемым формулой (5.2.42). Заметим, что нормировочная постоянная пропорциональна эффективному объему источника (Carter and Wolf, 1981b)

Рис. 5.4. Иллюстрация к формуле (5.2.48)

Рис. 5.5. Поведение модуля спектральной степени когерентности для дальнего поля, создаваемого трехмерным гауссовским квазиоднородным источником, описываемым формулами (5.2.42) и (5.2.43), как функции угла в между . (Carter and Wolf, 1981b)

где — угол между При подстановке (5.2.48) в (5.2.47) получим следующее выражение для

Из этой формулы следует, что угловое расстояние в, для которого пространственная когерентность на заданной частоте в дальней зоне является существенной, должно удовлетворять по порядку величины соотношению

Рассмотрим два предельных случая. Если эффективный линейный размер источника много меньше длины волны [подчиняющейся (весьма идеализированному) предположению (5.2.43)], то и неравенство (5.2.50) справедливо для всевозможных углов между единичными векторами т.е. для в Тогда дальнее поле будет пространственно полностью когерентным на частоте . С другой стороны, если эффективный линейный размер источника много больше длины волны, то и

значение удовлетворяющее неравенству (5.2.50), можно аппроксимировать Следовательно, при этих условиях, пространственная когерентность на заданной частоте в дальней зоне источника распространяется на углы, для которых

Поведение абсолютного значения спектральной степени когерентности дальнего поля как функции угла в (5.2.49), показана на рис. 5.5 для некоторых значений нормированного эффективного линейного размера источника

В этом разделе мы продемонстрировали общие результаты, полученные в разд. 5.2.1 для квазиоднородных источников. Излучение от других типов источников, относящихся к полностью когерентным и полностью некогерентным источникам, так же, как и к гауссовским источникам модели Шелла, обсуждаются в двух работах Картера и Вольфа (Carter and Wolf, 1981а, b).

1
Оглавление
email@scask.ru