5.8.2. Спектр дальнего поля, образуемого плоскими вторичными квазиоднородными источниками

Мы только что показали, что при наложении света от двух малых коррелированных источников с одинаковыми спектрами, спектр будет, вообще говоря, изменяться. Можно было бы ожидать, что изменения в спектре будут также иметь место, если свет создается протяженным частично когерентным или полностью когерентным источником, т.е. спектр света, создаваемого такими источниками, не будет, в общем случае, инвариантным при распространении. В этом разделе мы рассмотрим такие изменения для случая, когда свет создается плоским, вторичным источником который, как мы будем предполагать, является квазиоднородным.

Начнем с уравнения (5.3.21) для интенсивности излучения, создаваемой таким источником, а именно

Здесь

где спектральная плотность поля в точке источника и

— двумерный пространственный фурье-образ спектральной степени когерентности света на плоскости источника. Далее

— как обычно, означает волновое число, связанное с частотой — угол между единичным вектором и нормалью к плоскости источника [см. рис. 5.41] и проекция единичного вектора на плоскость источника, которая рассматривается как двумерный вектор.

Поскольку мы интересуемся спектром в дальней зоне, а не интенсивностью излучения мы используем простое соотношение (5.2.12), а именно,

и затем получим из (5.8.29) и (5.8.33) следующую формулу для спектра в дальней зоне:

Рис. 5.41. Обозначения, относящиеся к выводу формулы (5.8.34) для спектра в дальней зоне, создаваемого плоским вторичным квазиоднородным источником

Предположим теперь, что нормированный спектр, скажем является одинаковым в каждой точке плоскости, т.е. что

где

Очевидно, что

Функция представляет собой оптическую интенсивность света в точке источника При подстановке (5.8.35) в (5.8.34) мы получим следующее выражение для спектра в дальней зоне:

где

Формула (5.8.38) показывает, что, с точностью до простых геометрических множителей, спектр света в дальней зоне отличается, вообще говоря, от спектра на плоскости источника по двум причинам:

(а) Из-за наличия коэффициента пропорциональности который появляется в формулах, описывающих эффект дифракции света на апертуре.

(б) Из-за наличия частотного множителя который зависит от корреляционных свойств света на плоскости источника.

В частности, если спектр источника состоит из одной спектральной линии, центрированной относительно и если пик драсположен на другой частоте то спектр в дальней зоне будет центрироваться относительно некоторой частоты, которая отличается от со на величину, зависящую от с Таким образом, точно также, как в простом случае, рассмотренном в разд. 5.8.1, излучающей системы, состоящей из двух коррелированных источников, корреляции поля на плоском, вторичном, квазиоднородном источнике могут изменить спектр излучаемого поля, и эти изменения могут существенным образом проявиться в виде сдвига спектральной линии. Это не истинный сдвиг, потому что смещенная линия немного искажается. Более того, из-за наличия величины в аргументе изменения в спектре будут, вообще говоря, зависеть от направления наблюдения

В качестве примера рассмотрим ситуацию, когда нормированный спектр вторичного источника представляет собой одиночную линию с гауссовским профилем. Тогда

где и — положительные константы. Мы предполагаем, что на каждой эффективной частоте и спектральная степень когерентности света на плоскости источника определяется гауссовской функцией, т.е.

где много меньше дисперсии функции

Двумерный пространственный фурье-образ выражения (5.8.41) равен

Подставляя (5.8.40) и (5.8.42) в формулу (5.8.38), используя (5.8.32) и тот факт, что мы получим следующее выражение для спектра в дальней зоне:

где

Произведение двух гауссовских функций в правой части (5.8.43) можно выразить в виде одной гауссовской функции, например, при использовании теоремы произведения для гауссовских функций (см. прил. 5.2). Тогда находим, что

где

При подстановке (5.8.46) в (5.8.43) мы, наконец, получим следующее выражение для спектра в дальней зоне:

Формула (5.8.48) показывает, что спектр в дальней зоне пропорционален произведению и гауссовского распределения. Множитель вносит незначительное изменение в гауссовскую функцию. За исключением когда [см. (5.8.49) ниже], гауссовская функция центрируется не относительно средней частоты спектра источника, а относительно более низкой частоты Со определяемой из (5.8.47а). Далее согласно (за исключением случая, когда т.е. спектр в дальней зоне является более узким, чем спектральная линия источника. Для т.е. в случае, когда направление наблюдения перпендикулярно плоскости источника, уравнения (5.8.45), (5.8.47а) и (5.8.476) дают и и выражение (5.8.48) для спектра в дальней зоне сводится к

На рис. 5.42 изображены некоторые изменения в спектре, вычисленные с помощью (5.8.48). В предыдущем обсуждении мы неявно предполагали, что т.е. что поле на плоскости источника имеет ненулевое значение корреляционной длины. Рассмотрим предельный случай, когда источник является пространственно полностью некогерентным, т.е. когда . Этот предел должен пониматься в том

Рис. 5.42. а — Спектры в дальней зоне в единицах как функции направления наблюдения в, создаваемые гауссовским коррелированным [см. (5.8.41)], плоским, вторичным, квазиоднородным источником, нормированный спектр которого есть спектральная линия с гауссовским профилем [см. (5.8.40)]. Константы равнялись Относительный сдвиг центральной частоты

смысле, что остается конечной при для того, чтобы множитель А (5.8.44) имел ненулевое значение. Из (5.8.45) мы видим, что в этом случае независимо от угла наблюдения. Формулы (5.8.47) дают теперь и для всех значений в в области значений и уравнение (5.8.48) сводится к правой части (5.8.49), т.е. мы имеем в случае пространственно некогерентного источника (нижний индекс «неког.»)

Заметим, что спектр в дальней зоне, создаваемый некогерентным источником, зависит от направления наблюдения, значение его пика спадает по закону

Мы видим, что в двух случаях, соответствующих уравнениям (5.8.49) и (5.8.50), спектры в дальней зоне пропорциональны произведению нормированного спектра источника [см. (5.8.40)] и множителя который приводит к очень незначительному искажению линии и вызывает небольшое синее смещение.

До сих пор мы рассматривали только влияние корреляций источника на спектры излучаемых полей в свободном пространстве. На практике между источником и детектором присутствуют рассеивающие и преломляющие элементы. Преломляющая апертура будет, вообще говоря, изменять когерентные свойства света, проходящего через нее, даже в отсутствие дисперсии. Например, если частично когерентный свет преломляется на апертуре, линейные размеры которой порядка или меньше, чем ширина поперечных корреляций падающего света, то свет, прошедший через апертуру будет пространственно когерентным. Однако, если размер апертуры достаточно большой, проходящий через него свет будет частично когерентным. Следовательно, можно ожидать, что на спектр света, который проходит через апертуру, будет, в общем случае, влиять размер апертуры. Этот эффект был впервые отмечен в работе (Kandpal, Vaishya and Joshi, 1989).

Систематическое изучение влияния размера апертуры на спектр преломляющегося на апертуре света было сделано Фолеем (Foley, 1990, 1991). Он рассмотрел простую систему, которая изображена на рис. 5.43. Однородный, пространственно некогерентный, плоский, круговой источник а радиуса помещался в передней фокальной плоскости тонкой линзы с фокусным расстоянием Непрозрачный экран с круговой апертурой с радиусом а помещался в задней фокальной плоскости линзы. Фолей обнаружил, что спектр

Рис. 5.43. Устройство для изучения влияния размера апертуры на спектр частично когерентного света, а — однородный, пространственно некогерентный, плоский, круговой источник радиуса помещенный в передней фокальной плоскости тонкой линзы Круговая апертура радиуса а помещается в задней фокальной плоскости линзы. Плоскость наблюдения находится в дальней зоне апертуры.

Рис. 5.44. Иллюстрация эффекта апертуры на спектр света для системы, изображенной на рис. 5.43. Нормированный спектр на оси в дальней зоне (пунктирная линия) и нормированный спектр на апертуре (сплошная линия), для случая когда нормированный спектр на апертуре имеет лоренцевский профиль где — эффективная корреляционная ширина света на апертуре на частоте

Рис. 5.45. Оптическая система, которая используется для синтеза плоских, вторичных источников с заданными когерентными свойствами.

дифрагированного света в дальней зоне отличается от спектра света в окрестности апертуры на множитель, который зависит, главным образом, от отношения радиуса апертуры к эффективной спектральной корреляционной длине

света на апертуре. На рис. 5.44 проиллюстрирован пример такого изменения в спектре. Возвращаясь к (5.8.34), ясно, что при соответствующем выборе спектральной степени когерентности источника, можно получить более существенные изменения, чем просто сдвиги линий. Это так же очевидно из теоретических предсказаний, изображенных на рис. 5.33 и рис. 5.34. Индебетау разработал систему для синтеза источников с заданными свойствами когерентности. Она схематично показана на рис. 5.45. На входе помещается узкая щель, которая освещается пространственно некогерентным полихроматическим (сложным) светом с однородной спектральной плотностью. Эта щель отображается двухлинзовой афокальной системой (линзы с фокусными расстояниями на маску плоскости 3. Зрачок этой отображающей апертуры (плоскость 2 на рис. 5.45) состоит из апертуры и призмы, которая сдвигает изображение

щели вдоль оси на величину, зависящую от частоты. При соответствующих экспериментальных условиях плоскость 3 действует как промежуточный вторичный источник, который является пространственно некогерентным вдоль оси и спектрально рассеянным вдоль оси . Для получения желаемой спектральной степени когерентности на плоскости за другой призмой, которая идентична первой, используется зрачок маски с комплексной амплитудной функцией пропускания Эта вторая призма необходима для удаления определенного нежелательного фазового члена.

Подробное вычисление показывает, что в плоскости О образуется вторичный источник со спектральной плотностью, одинаковой в каждой точке, и со спектральной степенью когерентности, которая изменяется вдоль направления х и пропорциональна фурье-образу квадрата модуля функции пропускания маски зрачка, которая модулирует рассеянное изображение щели.

На рис. 5.46 показан пример маски зрачка, используемый для синтеза источника с заданной степенью когерентности. Синтезированный источник имеет примерно равномерную спектральную плотность, в определенной частотной области значений и равную нулю вне этой области. На рис. 5.47 показаны спектры в дальней зоне, создаваемые этим источником в трех выбранных направлениях наблюдения.

Рис. 5.46. Маска зрачка а, используемая для синтеза источника с однородным спектром который создает спектры в дальней зоне, показанные на рис. 5.47. (Indebetouw, 1989)

Рис. 5.47. Спектры в дальней зоне, наблюдаемые в направлениях создаваемые синтезированным, спектрально однородным источником, полученным посредством маски зрачка, изображенной на рис. 5.46 (Indebetouw, 1989)

Наконец, следует заметить, что во всех ситуациях, приводящих к изменениям спектра, которые мы до сих обсуждали, никакие новые частотные компоненты не создавались корреляционным механизмом. Этот факт является очевидным, например, из уравнения (5.8.38), которое показывает, что всякий раз, когда Корреляции источника приводят к увеличению или уменьшению вкладов различных частотных компонент в исходном спектре, но не создают новых компонент. Следовательно, наибольшие спектральные сдвиги, которые могут создаваться таким образом, будут порядка эффективной ширины исходной спектральной линии. Аналогичные замечания применимы к изменениям в спектре, обусловленным, отчасти, аналогичным механизмом рассеяния на частично коррелированных, статических, случайных средах [см. разд. 7.6.4(b), а именно (7.6.59)]. Однако для динамического рассеяния или, более точно, для рассеяния на случайных средах, для которых отклики на падающее поле варьируются не только в пространстве, но и во времени, в рассеянном свете могут появиться спектральные компоненты, которых не было в падающем свете. В частности, такой процесс может привести к большим сдвигам линии. При определенных условиях изменения в спектре, которые возникают таким способом, могут имитировать эффект Доплера, даже несмотря на то, что источник, рассеиватель и наблюдатель покоятся друг относительно друга (Wolf, 1989; James, Savedoff and Wolf, 1990; James and Wolf, 1990, 1994). На рис. 7.9 приведен пример.