10.11. Некоторые теоремы операторной алгебры

При вычислениях в квантовой электродинамике часто необходимо оперировать определенными комбинациями операторов гильбертова пространства. По этой причине мы в этом параграфе собрали вместе несколько наиболее часто употребляемых операторных теорем. Некоторые из них уже встречались, другие будут использоваться в последующих главах.

10.11.1. Теорема об операторном разложении

Пусть два оператора, которые не обязательно коммутируют между собой, и пусть

Разложим в ряд Тейлора по в окрестности начала координат. Из определения

так что

Аналогично,

так что

и т.д. Теперь запишем ряд Тейлора для

и подставим выражение для что сразу же приведет нас к следующему разложению:

Это так называемая теорема об операторном разложении, которая особенно полезна в отношении унитарных преобразований.

В частном случае, когда коммутатор с-число, ряд обрывается после второго члена, и мы получаем

В этом случае действует на В как оператор трансляции. Например, если канонически сопряженные операторы, и то тогда и

Другой важный пример выражения (10.11.2) имеет место при где — операторы уничтожения и рождения, произвольное комплексное число. Тогда, полагая или получим или соответственно, и

Оператор называется оператором смещения и будет подробно обсуждаться в разд. 11.3.

Если А в выражении (10.11.1) представляет собой оператор числа частиц а в качестве В выбирается а или то мы получаем масштабирующее преобразование для а или а). Так как и все коммутаторы более высоких порядков также дают а с чередующимися знаками, из теоремы об операторном разложении следует, что

и по аналогии

Теорема об операторном разложении применима также для дифференциальных операторов. Например, если то тогда и из выражения (10.11.2) получаем

В дальнейшем мы еще встретим другие примеры применения теоремы об операторном разложении.