14.1.2. Электромагнитное взаимодействие между полями и зарядами

В гл. 10 мы уже показали, что энергию свободного, квантованного поля можно выразить в виде (в единицах СИ)

Здесь операторы гильбертова пространства поля. С другой стороны, энергия частицы с зарядом массой и импульсом находящейся в точке во внешнем потенциале задается выражением

в котором надо рассматривать как операторы гильбертова пространства частицы.

Для того, чтобы получить выражение, описывающее взаимодействие между заряженной частицей, например, электроном, и полем, будем руководствоваться классической электромагнитной теорией. Согласно последней канонический импульс системы, состоящей из заряда в электромагнитном поле, характеризуемым векторным потенциалом получается заменой

где радиус-вектор заряда. Такая же процедура справедлива и в квантовой механике, за исключением того, что теперь становятся операторами гильбертова пространства заряженной частицы, а оператором гильбертова пространства поля. Если мы учтем это в выражениях для и Н, то получим гамильтониан полной системы

Первым и вторым членами в правой части этого выражения, конечно же, являются и На, соответственно, а оставшиеся члены можно определить как взаимодействие Такая форма записи известна как форма минимального взаимодействия гамильтониана.

На первый взгляд, может показаться странным, что энергия взаимодействия зависит от потенциала А, который, в свою очередь, зависит от выбранной калибровки. До настоящего момента мы работали в кулоновской калибровке, в которой А представляет собой поперечное векторное поле, и необходимо понимать, что в (14.1.15) А задано в кулоновской калибровке. Однако можно заменить А поперечной частью векторного потенциала А, чтобы получить для выражение, инвариантное относительно калибровки. Используя кулоновскую калибровку, в которой и А совпадают, мы просто избегаем необходимости различать их.

В выражении для обычно делается ряд упрощений. Когда векторный потенциал поля выражается в кулоновской калибровке, можно рассматривать в качестве коммутирующих переменных, даже если не коммутируют. Чтобы понять это, допустим, что есть произвольное квантовое состояние атомной системы, а произвольное состояние, описывающее местоположение, так что

Тогда находим следующий матричный элемент коммутатора скалярного произведения

так как в кулоновской калибровке. Поскольку это выполняется для любого состояния то нет необходимости различать в кулоновской калибровке даже если не коммутируют.

Дальнейшее упрощение возможно, если атомное состояние или на которое либо слева, либо справа, действует является ограниченным состоянием, таким, что волновая функция обращается в нуль для лежащих вне небольшой области, окружающей точку Чтобы показать это, мы воспользуемся разложением векторного потенциала по модам плоских волн и учтем полноту состояний Тогда

Если разброс волновой функции около в направлении к много меньше, чем длина волны любой заполненной -моды электромагнитного поля, то, очевидно, в хорошем приближении можно заменить под знаками интегралов множители на Следовательно,

а оператор координаты в векторном потенциале можно заменить его средним значением и считать его константой. Такое упрощение, обычно, называется диполъным приближением. Оно имеет непосредственное применение, например, к изучению взаимодействия между светом и атомным электроном, так как размеры атома много меньше длины волны. В тех случаях, когда такая замена пригодна, гамильтониан можно записать в более простом виде

Наконец, для любых, за исключением лишь очень интенсивных, полей, можно пренебречь членом взаимодействия по сравнению с членом Чтобы пояснить это, отметим, что с-числовое отношение

может быть записано в приближенном виде

где электрическое поле, его частота и длина волны, скорость электрона. В большинстве оптических взаимодействий кинетические энергии электронов имеют порядок в несколько электрон-вольт. Даже если мы работаем со светом, создаваемым лазером, мощность которого составляет на площади поперечного сечения и для которого на характерной длине волны то отношение получается всего лишь порядка 0.02. Таким образом, видно, что членом взаимодействия можно пренебречь для всех слабых и умеренно интенсивных световых пучков. Только при очень больших мощностях света, когда доминируют многофотонные взаимодействия, этот член становится важным. Учитывая это, мы в дальнейшем будем упрощать выражение для энергии взаимодействия и писать