14.2. Вероятность одноэлектронного фотодетектирования

В гл. 12 мы уже отмечали, что большинство измерений света основываются на поглощении фотонов посредством фотоэлектрического эффекта. Ситуация усложняется и оказывается совершенно другой на более длинных волнах, например в радиочастотной области, где само электрическое поле легко измеряется, а взаимодействие с измерительным инструментом включает процессы как испускания, так и поглощения. Но периоды колебаний в оптике являются достаточно короткими, и за время измерения происходит большое число колебаний поля, так что конечное состояние энергии может быть вполне определенным, если оно было изначально хорошо определено.

Для того, чтобы заняться этой проблемой, рассмотрим своего рода идеализированный фотодетектор, показанный на рис. 14.1. Он имеет проводящую фоточувствительную поверхность, т.е. фотокатод, с площадью и толщиной, много меньшей оптической длины волны, которая освещается лучом света под прямым углом. Для простоты предполагаем, что поле на поверхности имеет вид плоской волны. На катоде содержится большое количество электронов в связанном состоянии, некоторые из которых под действием падающего света могут быть испущены. Испущенный электрон быстро притягивается к аноду, где он создает (возможно, после дальнейшего усиления) детектируемый электрический импульс.

Рассмотрим для начала отдельный электрон, расположенный в точке который первоначально находится в некотором связанном состоянии с отрицательным собственным значением энергии

гамильтониана невзаимодействующего электрона. Таким образом,

Рис. 14.1. Идеализированный фотодетектор со связанным электроном в потенциальной яме

Будем предполагать, что энергия связи порядка что является характерным для оптического фотодетектора, тогда частота порядка Далее предположим, что на этот электрон действует оптическое поле, которое находится в некотором квантовом состоянии, характеризуемом оператором плотности в начальный момент времени когда начинается взаимодействие. Оператор плотности комбинированной системы «электрон поле» в момент времени представляется в виде прямого произведения

Теперь вычислим вероятность того, что под действием электромагнитного поля электрон совершает переход в несвязанное состояние с положительной энергией за короткий временной интервал который, при этом, является достаточно длительным по сравнению с оптическим периодом. Здесь подразумевается, что свободный электрон будет быстро притянут к аноду и вызовет электрический импульс, который фиксирует фотоэлектрическую эмиссию в момент времени Как мы увидим, решение данной задачи допускает обобщение.

Мы полагаем, что энергия взаимодействия связанной системы задается выражением (14.1.17), причем как импульс электрона так и векторный потенциал поля записаны в картине взаимодействия. Тогда,

где с отсутствующим временным аргументом означают операторы в момент времени когда начинается взаимодействие.

Пусть есть энергетическое состояние свободного электрона с положительным собственным значением так что

и пусть является произвольным конечным состоянием электромагнитного поля. Поскольку нас, обычно, не интересует конечное состояние поля, просуммируем по всем возможным состояниям Тогда вероятность того, что система совершает переход за время из начального состояния в конечное состояние задается выражением Так как конечное состояние ортогонально начальному состоянию, то можно воспользоваться упрощенным соотношением (14.1.14), полученным по теории возмущений, и записать

Теперь подставим в интеграл из (14.2.2) и (14.1.17) и воспользуемся (14.2.3) и (14.2.4). Поскольку операторы электрона и поля коммутируют между собой в один и тот же момент времени, матричный элемент под знаком интеграла можно разложить на произведение двух матричных элементов, один из

которых относится к электрону, а другой к полю. Все операторы вплотную действуют на свои собственные состояния, и, заменяя На величиной или с помощью (14.2.1) и (14.2.5), получаем

Как правило, мы не интересуемся и не предпринимаем никаких попыток определить конечное состояние поля. В таком случае, вероятность перехода в свободное электронное состояние, безотносительно к конечному состоянию поля, получается суммированием по всем возможным состояниям

Запишем в диагональном представлении по когерентным состояниям (см. разд. 11.8), полагая

и подставим его в (14.2.6). Изменив порядок двух матричных элементов под знаком интеграла и просуммировав по полному набору всех конечных состояний, придем к вероятности электронного перехода, безотносительно к конечному состоянию поля. С помощью тождества всем получаем, что

где множитель, содержащий полевое среднее, обозначает

Наконец, просуммируем вероятность в (14.2.7) по всем конечным электронным состояниям с положительной энергией для нахождения вероятности фотоэлектрического детектирования. При суммировании можно учесть возможность того, что электроны в различных конечных состояниях могут иметь различные вероятности попадания на детектор и регистрации. Чтобы выразить это явно, предположим, что конечное электронное состояние характеризуется энергией электрона возможно, другими переменными, совокупность которых обозначаются через и что вероятность также зависит от этих переменных. Используя плотность состояний где число конечных электронных состояний в интервале мы выразим суммы по в виде интегралов. В результате имеем из (14.2.7) (Kimble and Mandel, 1984), что

Вероятность фотоэлектрического детектирования в момент времени

где введено обозначение

для функции эффективного отклика детектора.

Анализ (14.2.9) показывает, что удовлетворяет условию симметрии

Если сделать замену переменной так что интеграл по энергии в (14.2.9) станет интегралом по частоте, то фурье-образ от являющийся частотной функцией отклика, очевидно запишется

Здесь в единичная ступенчатая функция Хевисайда, определяемая как в при при а задается выражением (14.2.1). Из-за наличия ступенчатой функции получаем для любой положительной частоты и, используя обратное фурье-преобразование функции

Далее учтем, что для многих фотодетекторов характерным является частотный отклик с большой шириной полосы частот, нередко такого же порядка, что и оптическая частота В этих условиях, временной интервал, где величина существенно отлична от нуля, является чрезвычайно коротким, порядка оптического периода. В этом случае бесконечные пределы интегрирования в (14.2.12) можно в хорошем приближении заменить на конечные пределы при условии, что имеют длительность, по крайней мере, в несколько периодов. Таким образом, можно записать

Удобно выразить операторное произведение под знаком интеграла в (14.2.8) в нормальном порядке, разлагая на соответствующие положительно- и отрицательно-частотные части

играющие роль операторов уничтожения и рождения в конфигурационном пространстве (ср. разд. 11.11). Таким образом, имеем (Yurke, 1985)

где пара двоеточий означает нормальное упорядочение. С помощью обычного разложения по модам (14.2.4), коммутатор легко вычисляется [см. также (10.4. 38)], и мы находим

При выводе этого результата мы воспользовались коммутационным соотношением (10.3.9), тензорным равенством (10.2.19в) и перешли к континуальному пределу Теперь с помощью (14.2.14) и (14.2.15) выражение (14.2.8) приобретает вид:

Вероятность фотоэлектрического детектирования за время

Рассмотрим более подробно вклад второго члена, происходящего из коммутатора в (14.2.15). Его можно назвать «вакуумным вкладом» в вероятность, поскольку он не зависит от состояния входящего оптического поля. Так как подынтегральное выражение при интегрировании по зависит только от разности двух аргументов, можно свести двойной временной интеграл к одинарному интегралу по разности Положим и воспользуемся свойством симметрии (14.2.10). Тогда, меняя порядок интегрирования, получаем

в силу (14.2.13), при условии, что поскольку множитель можно в хорошем приближении заменить на [Случай был рассмотрен в работе (Mandel and Meltzer, 1969).] Второе выражение получается из первого, когда интегрирование проводится вдоль полос, наклоненных под углом 45° к осям имеющих площади (Подобное преобразование от двойного к одиночному временному интегралу осуществляется в разд. 14.9 [см. (14.9.11)] и обсуждается там более подробно.) Формула (14.2.16) с помощью (14.2.17) теперь упрощается и принимает вид