5.2. Излучение трехмерных первичных источников

5.2.1. Основные формулы

Рассмотрим излучение от флуктуирующего первичного источника, занимающего конечную область Предположим, что флуктуации можно описать с помощью ансамбля, который является стационарным, по крайней мере в широком смысле. Согласно (4.4.68) функция взаимной спектральной плотности поля, которое источник создает в двух точках выражается через функцию взаимной спектральной плотности распределения источника с помощью формулы

где и — радиус-векторы двух точечных источников

(с — скорость света в вакууме) — волновое число, связанное с частотой

Часто интересуются поведением поля в дальней зоне источника. В этом случае формула (5.2.1), как мы сейчас покажем, заметно упрощается. Поместим начало О радиус-векторов в некоторую фиксированную точку в области источника и положим (см. рис. 5.1)

где единичные векторы, задающие направления из начала координат О в две точки поля. Если эти точки находятся на достаточно большом расстоянии, то в экспоненте подынтегрального выражения (5.2.1) можно использовать приближение

в то время, как в знаменателе мы можем использовать приближение Тогда мы получим следующее выражение для функции взаимной корреляции:

В левой части (5.2.5) вместо мы записали чтобы подчеркнуть, что формула применима к дальнему полю.

Рис. 5.1. Обозначения к формуле (5.2.5) для взаимной спектральной плотности дальнего поля, создаваемого трехмерным первичным источником

Правая часть (5.2.5) представляет собой произведение двух множителей. Первый зависит только от расстояний между началом координат О и точками в дальней зоне. Второй множитель зависит только от направлений, определяемых единичными векторами которые задают направления из начала координат О в точки Полезно сконцентрировать свое внимание на этой прямой зависимости, для чего перепишем уравнение (5.2.2) в виде

где

Функция известна как взаимная интенсивность излучения. Позже будет показано [см. (5.6.52)], что взаимная интенсивность излучения также представляет собой меру корреляций между модами плоских волн частоты поля, распространяющихся в направлениях, заданных единичными векторами

С помощью некоторых приближений мы получили уравнение (5.2.6); кроме того, можно показать, например, с помощью принципа стационарной фазы, что это уравнение представляет собой точную асимптотическую формулу для когда при фиксированных Этот факт можно проверить, используя уравнения (4.7.38), (3.3.95) и (3.2.27).

Известно, что формулы вида (5.2.6) применимы также и к другим ситуациям. Например, можно показать, что взаимная спектральная плотность в дальней зоне поля, рассеянного локализованным источником, имеет эту форму. Конечно, взаимная интенсивность излучения не будет больше определяться уравнением (5.2.7).

Поскольку взаимная спектральная плотность источника имеет нулевое значение, когда либо либо 12, или оба вектора являются точками вне области источника то в этом случае формально мы можно распространить интегрирование в (5.2.7) на все пространство. Тогда мы получим для взаимной интенсивности излучения выражение

где

— шестимерный пространственный фурье-образ взаимной спектральной плотности источника.

Уравнение (5.2.6) вместе с выражением (5.2.8) для взаимной интенсивности излучения источника представляет собой основную формулу для излучения от флуктуирующих «стационарных» (точнее, стационарных в широком смысле) трехмерных источников. Из (5.2.8) мы видим, что не все пространственные

фурье-компоненты дают вклад в дальнее поле. Дают вклад только те компоненты, которые обозначены парами трехмерных векторов

Так как единичные векторы, для абсолютных величин пространственно-частотных векторов, которые входят в выражение (5.2.8), мы имеем

т.е. их модули равны волновому числу к, связанному с частотой для свободного пространства.

В особом случае, когда точки и в дальней зоне совпадают, мы получим сразу из (5.2.6) формулу

Здесь

т.е. «диагональные элементы» представляют собой спектральную плотность поля в точке определяемую радиус-вектором и

Функция известна как интенсивность излучения поля.

Здесь мы ввели интенсивность излучения из соображений, основанных на поведении поля в дальней зоне. Позже, в связи с излучением от плоского источника [см. (5.7.35)], мы узнаем, что интенсивность излучения также представляет собой скорость, с которой источник излучает энергию на данной частоте в единицу телесного угла в направлении, заданном единичным вектором

Из (5.2.14) и (5.2.8) следует, что интенсивность излучения можно вычислить, зная взаимную спектральную плотность источника, с помощью формулы

Использование этого выражения для определения интенсивности излучения приводит к необходимости вычисления шестимерного преобразования Фурье. Однако, вследствие того, что два пространственно-частотных аргумента в правой части (5.2.15) отличаются друг от друга только знаком, эту формулу можно представить, как мы сейчас покажем, в более простом виде. Из (5.2.9) следует, что

Преобразуем переменные интегрирования по формулам

отсюда находим, что

Можно легко показать, что якобиан преобразования (5.2.176) равен единице и, следовательно, мы получим из (5.2.16) следующее выражение для

где интегрирование формально распространено на все возможные значения переменных интегрирования.

Для дальнейших целей полезно ввести

Мы будем называть функцию полной взаимной спектральной плотностью. Из (5.2.18) и (5.2.19) следует, что

где

— трехмерный пространственный фурье-образ полной взаимной спектральной плотности источника. Наконец, при подстановке (5.2.20) в (5.2.15) мы получим следующее альтернативное выражение для интенсивности излучения:

Рассмотрим теперь спектральную степень когерентности [см. (4.3.476)] дальнего поля, а именно

Используя уравнения (5.2.6), (5.2.13) и (5.2.12), можно выразить правую часть (5.2.23) через взаимную интенсивность излучения и интенсивность излучения. Тогда получим следующее выражение для

Если подставить сюда уравнения (5.2.8) и (5.2.15) для взаимной интенсивности излучения и интенсивности излучения, то мы получим следующее выражение для спектральной степени когерентности дальнего поля через фурье-образ взаимной спектральной плотности источника:

Если две точки в дальней зоне удалены на одинаковое расстояние от начала координат (т.е. когда то часто говорят о поперечной когерентности. Для такой пары точек спектральная степень когерентности дальнего поля определяется уравнением (5.2.25), в котором экспоненциальный множитель заменен на единицу. Ясно, что спектральная степень когерентности не зависит от общего расстояния от начала координат.

В том случае, когда две точки в дальней зоне расположены в одном и том же направлении говорят о продольной когерентности. Для такой пары точек спектральная степень когерентности дальнего поля согласно (5.2.25) равна

Модуль этого выражения равен единице для всех значений связанных с точками в дальней зоне. Следовательно, поле в любых двух точках в дальней зоне, которые лежат вдоль одного и того же направления, если смотреть от источника, является полностью когерентным для каждой частоты независимо от расстояния между двумя точками.