11.6.1. Линейная зависимость когерентных состояний

Эта особенность, которая возникает при использовании неортогонального, но полного (в действительности, переполненного) множества состояний в качестве базиса, становится очевидной, если отождествить в выражении (11.6.5) с одним из когерентных состояний, скажем Тогда с учетом (11.6.1) получим

Таким образом, получаем разложение одного из когерентных состояний по всем когерентным состояниям. Такое разложение, конечно, было бы в принципе невозможным, если бы состояния были ортогональными.

Из выражения (11.6.6) следует, что различные когерентные состояния не являются линейно независимыми. Более того, можно формально использовать это выражение для разложения нуля в виде

Поскольку произвольное комплексное число, существует бесконечно много различных интегральных представлений нуля через когерентные состояния. Любой из этих интегралов можно добавить в правую часть формулы (11.6.5), не нарушая ее справедливости. Следовательно, очевидно, что разложение типа (11.6.5) по когерентным состояниям не однозначно. Более того, разложение (11.6.7) не является единственно возможным разложением нуля. Рассмотрим, например, интеграл где и т.д. Разлагая когерентное состояние по фоковским состояниям, переходя к полярным координатам гегв и интегрируя по в, сразу видим, что интеграл обращается в нуль. Следовательно, для произвольной функции

если интеграл существует. Это опять иллюстрирует линейную зависимость когерентных состояний.