3.1.4. Статистические свойства аналитического сигнала, связанного с действительным гауссовским случайным процессом

Пусть будет действительным, стационарным, в широком смысле, гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Его плотность вероятности в любой момент времени задается формулой

где дисперсия случайного процесса х. Процесс сопряженный представляет собой линейное преобразование [см. (3.1.13а)] и, следовательно, в соответствии с хорошо известной теоремой (Davenport and Root, 1958, разд. 8.4), является стационарным, в широком смысле, гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Более того, согласно Теореме IV [см. (3.1.77)] дисперсия случайного процесса у равна дисперсии а для х. Таким образом

Согласно (3.1.776) случайные процессы х и у некоррелированны и, следовательно, их совместная вероятность есть просто произведение так что

есть двумерное гауссовское распределение. Поскольку окружности представляют собой геометрическое место точек постоянных значений распределения (3.1.82), говорят, что такое гауссовское распределение является циркулярным.

Рассмотрим теперь совместную плотность вероятности модуля амплитуды и аргумента фазы аналитического сигнала [см. (3.1.12) и (3.1.33)]

Согласно элементарному закону преобразования вероятностей

Так как Асоъф и у — Аътф, легко найдем, что следовательно, из (3.1.12) и (3.1.82) получаем, что

Поскольку в правой части отсутствует, ясно, что все значения фазы равновероятны, т.е. плотность вероятности для есть

Рис. 3.7. Распределение Рэлея

Рис. 3.8. Экспоненциальное распределение

Плотность вероятности амплитуды может быть получена интегрированием (3.1.85) по в области Результат имеет вид

и представляет собой распределение Рэлел. Это распределение показано на рис. 3.7.

Так как совместная плотность вероятности [см. (3.1.85)] представляет собой произведение плотностей вероятностей определяемых формулами (3.1.86) и (3.1.87), фаза и амплитуда аналитического сигнала в каждый момент времени статистически независимы. Однако в общем случае случайные процессы статистически зависимы.

В заключение рассмотрим плотность вероятности квадрата мгновенной амплитуды. Для краткости, мы будем называть ее мгновенной интенсивностью и обозначать как

Снова используя элементарный закон преобразования вероятностей (см. разд. 1.3.1)

из формул (3.1.87) — (3.1.89) находим, что

где Согласно (3.1.90), мгновенная интенсивность имеет экспоненциальное распределение, которое изображено на рис. 3.8. Можно показать, что момент равен

Мы рассмотрели некоторые из простейших статистических свойств комплексного процесса, связанного на основе представления аналитического сигнала с действительным, стационарным, в широком смысле, гауссовским случайным процессом. Более сложная проблема определения статистических свойств комплексного аналитического поля по известным статистическим свойствам действительного флуктурирующего поля, была рассмотрена Агарвалом и Вольфом (Agarwal and Wolf, 1972).