3.3.4. Пример: поведение представления углового спектра для волновых полей в дальней зоне
В качестве примера, иллюстрирующего целесообразность формулы (3.3.41) для асимптотического приближения определенных видов двойных интегралов, получим теперь выражение для поведения в дальней зоне волнового поля, записанного в виде углового спектра плоских волн.
Рассмотрим волновое поле 
в полупространстве 
(предполагается, что оно является свободным), в котором поле удаляется на бесконечность. Согласно (3.2.19) пространственная часть волнового поля в этой области имеет представление углового спектра в виде
где
и 
— скорость света в вакууме.
Поскольку затухающие волны, т.е. плоские волны в подынтегральном выражении (3.3.70), для которых используется (3.3.716), экспоненциально убывают по амплитуде при увеличении расстояния от плоскости 
они в общем случае не дают вклада в поле в дальней зоне. Однако, для того, чтобы определить поведение поля в дальней зоне, можно вместо интеграла (3.3.70) рассмотреть интеграл
который содержит только вклады однородных волн.
Рассмотрим поведение 
в точке 
дальней зоны в направлении, которое задается единичным вектором 
Тогда
где
— расстояние от точки начала координат до точки 
(см. рис. 3.10). При подстановке (3.3.73) в (3.3.72) для 
мы получим для 
выражение
где
где 
определяется из (3.3.71а) и
Нас интересует поведение 
в дальней зоне, а точнее, асимптотическое поведение двойного интеграла в правой части выражения (3.3.75) при к 
и при фиксированных 
Этот интеграл имеет вид (3.3.24) и, следовательно, искомое асимптотическое приближение к 
определяется формулой (3.3.41) (с очевидными изменениями обозначений). Полученная «фазовая функция» 
имеет единственную стационарную точку, т.е. одну критическую точку первого рода в области интегрирования. Предполагая пока, что это так, и применяя к данному случаю формулу (3.3.41), получим
где 
стационарная точка, т.е. точка, в которой
Кроме того,
где
а нижний индекс 1 означает, что выражение в скобках вычислено в точке 
Также предположим, что удовлетворяется требование (3.3.28), т.е. что 
Теперь посмотрим, имеет ли в данном случае фазовая функция стационарную точку. Дифференцируя выражение (3.3.77), получаем
Из уравнения (3.3.71а) следует, что
С учетом последней формулы (3.3.84) принимает вид
Аналогично,
Таким образом, функция 
будет стационарной [будет выполняться условие (3.3.80)] при 
где
Так как отношения 
фиксированы, из (3.3.87а) следует, что фазовая функция действительно имеет одну и только одну стационарную точку. Более того, поскольку 
единичный вектор,
и из формул (3.3.87) и (3.3.88) следует, что
Поскольку мы уже знаем физический смысл принципа стационарной фазы, этот результат означает, что в общем случае в представлении углового спектра поля одна и только одна плоская волна дает вклад в дальнее поле в точке, расположенной в направлении, заданном единичным вектором 
а именно, волна, распространяющаяся в заданном направлении; другие волны гасятся из-за интерференции.
Чтобы определить асимптотическое приближение для поля в дальней зоне в направлении 
нужно согласно выражениям (3.3.80) и (3.3.82) вычислить вторые производные от фазовой функции. Дифференцируя (3.3.84), получим
или, используя (3.3.85),
Следовательно, в стационарной точке определяемой формулой (3.3.89), имеем
Аналогично находим
Используя эти выражения и тождество (3.3.88), легко найдем, что величины 
имеют значения
Следовательно, в нашем случае, учитывая (3.3.816), имеем
Мы должны также вычислить 
в стационарной точке 
определяемой формулой (3.3.89). Очевидно, что
и, подставляя (3.3.89) в (3.3.77), получим
Окончательно, подставляя (3.3.76) и (3.3.91) — (3.3.94) в формулу (3.3.79) и вспоминая, что в общем случае поведение 
в дальней зоне одно и тоже, получим для дальнего поля асимптотическую формулу
где предел берется вдоль некоторого заданного направления 
в полупространстве 
Заметим, что в силу элементарного соотношения (3.2.26) между фурье-образом 
поля на граничной плоскости 
и функцией амплитуды 
углового спектра, асимптотическая формула (3.2.95) находится в хорошем согласии с формулой (3.2.88), полученной на основе дифракционного интеграла Рэлея первого рода.
