13.3. Пучки стационарного света от теплового источника

Свет, создаваемый тепловыми равновесными источниками, часто фильтруется таким образом, что создается приблизительно плоская волна или пучок, распространяющийся в точно определенном направлении. На рис. 13.5 проиллюстрирован один из способов получения такого пучка. Можно показать, в довольно общем виде, что, если оптическое поле является тепловым, имеет определенное направление, а также является стационарным и спектрально чистым в отношении поляризации (ср. разд. 4.5.1), то весовой функционал можно упростить.

Как было показано в разд. 12.8, для любого стационарного поля

Если поле имеет определенное направление распространения, характеризуемое единичным вектором то все моды, за исключением одной, имеющей волновой вектор в направлении незаполнены, и, следовательно, если к Выберем базис поляризации так, чтобы матрица поляризации была диагональной, т.е.

Рис. 13.5. Схема формирования пучка «теплового» света из излучения черного тела

Если условие взаимной спектральной чистоты выполняется для поляризаций, то этот базис будет одинаковым для всех заполненных мод. Из (13.3.1) и (13.3.2) следует, что для такого однонаправленного поля

Следовательно, комплексные амплитуды отвечающие различным модам, являются некоррелированными гауссовскими случайными переменными, и поэтому они являются статистически независимыми. Тогда весовой функционал принимает, вместо (13.2.1), более простой вид

Этот функционал имеет точно такую же структуру, как и весовой функционал (13.1.20) для излучения черного тела. Единственное различие состоит в том, что средние числа заполнения фотонов все равны нулю, за исключением тех, которые соответствуют векторам к, направленным вдоль причем для этих волновых векторов значения произвольны. Конечно, невозможно создать строго однонаправленное поле или световой пучок методом, показанным на рис. 13.5, однако выражение (13.3.4) часто является хорошим приближением для описания такого состояния. Излишне говорить, что существенное упрощение достигается всякий раз, когда выражение (13.3.4) используется вместо (13.2.1).

13.3.1. Флуктуации интенсивности пучка света от теплового источника

Рассмотрим пучок света от теплового источника, состояние которого описывается весовым функционалом (13.3.4) и вычислим распределение вероятностей интенсивности света Поскольку имеет тот же вид, что и весовой функционал для излучения черного тела, может сначала показаться, что распределение вероятностей должно задаваться выражением (13.1.38). Однако нужно помнить, что пучок такого света не имеет всех свойств симметрии поля излучения черного тела и что числа заполнения являются произвольными.

Если все фурье-компоненты светового пучка имеют одинаковые поляризационные свойства, то матрица поляризации деленная на должна быть одинаковой для всех занятых к-мод поля. Следовательно, можно разложить комплексную амплитуду векторного поля есть собственное значение положительно-частотной части электрического поля, магнитного поля и т.п.) на две составляющие, пропорциональные ортогональным единичным векторам поляризации и записать

Гауссовский вид весового функционала гарантирует, что являются комплексными, гауссовскими, скалярными случайными переменными. Поскольку базисные векторы в выражении (13.3.5) выбраны так, чтобы матрица поляризации была диагональной, то являются некоррелированными и, следовательно, статистически независимыми. Из (13.3.5) следует, что

где также статистически независимы. Теперь учтем, что, поскольку и являются комплексными гауссовскими случайными переменными, они имеют распределения вероятностей в виде

где есть средние значения величин и вычисленные с помощью весового функционала (13.3.4). Записывая замечая, что и интегрируя по фазовым углам , находим выражения для плотностей вероятностей величин

Тогда из (13.3.6) и (13.3.7) имеем для плотности вероятности величины следующее выражение:

Можно выразить через среднюю полную интенсивность света и степень поляризации Из (13.3.6) следует, что

Степень поляризации плоской волны с волновым вектором к выражается через собственные значения матрицы поляризации следующим образом :

и, в силу того, что все занятые к-моды имеют одинаковую поляризацию, принимает вид

Из (13.3.9) и (13.3.11) следует, что

Подставляя эти соотношения в (13.3.8), получаем окончательно выражение для (Mandel, 1963)

Некоторые примеры распределения вероятностей приведены на рис. 13.6. Стоит отметить, что случай который соответствует полностью поляризованному пучку света, имеет некоторую особенность, состоящую в том, что наиболее вероятное значение интенсивности света равно нулю, тогда как во всех остальных случаях. Если пучок света неполяризован и то соответствующее распределение вероятностей получается путем вычисления предела правой части (13.3.13) при Разлагая показательные функции, легко находим (Hurwitz, 1945), что

Рис. 13.6. Примеры распределения вероятностей для пучка света от теплового источника при различных значениях степени поляризации Р (Mandel, 1963)

Моменты интенсивности света, соответствующие (13.3.13), легко вычисляются и имеют вид

В частности, дисперсия равна

Таким образом, дисперсия изменяется в относительно небольших пределах от для полностью поляризованного света до для неполяризованного света.

Наконец, рассмотрим двухвременную корреляционную функцию пучка света от теплового источника. Поскольку поле стационарное, запишем нормально упорядоченную корреляционную функцию в виде

и, учитывая оптическую теорему эквивалентности, имеем

Разложим опять комплексную амплитуду векторного поля на две ортогональные, статистически независимые, комплексные скалярные компоненты и представляющие собой гауссовские процессы. Тогда из (13.3.6) имеем

Используя гауссовскую теорему моментов, учитывая однородность поля, которая означает, что

и учитывая статистическую независимость получаем

Подразумевается, что средние значения всех с-числовых функций должны вычисляться с помощью весового функционала Введем теперь нормированные корреляционные функции второго порядка

и воспользуемся условием взаимной спектральной чистоты в отношении поляризации, которое гарантирует, что

Тогда (13.3.18) сводится к

Наконец, выразим и через среднюю полную интенсивность света и степень поляризации используя (13.3.12). В результате, придем к выражению

которое означает, что нормированная корреляционная функция интенсивности

имеет вид

Вследствие однородности поля обе части этого выражения фактически зависит только от разности между двумя пространственными аргументами.